导数的应用函数的单调性

导数的应用—函数的单调性教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：利用导数判断函数单调性教学难点：利用导数判断函数单调性授课类型：新授课课时安排：1课时1、函数f(x)在点x0处的导数定义2、某点处导数的几何意义3、导函数的定义xyx0lim)()(lim000xxfxxfx)(0xf函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线的斜率.知识回顾Δx0f(xΔx)f(x)f(x)limΔx4、求函数y=f(x)的导数的三个步骤：2.算比值：xxfxxfxy)()(3.取极限：xxfxxfxyyxx)()(limlim001.求增量：)()(xfxxfy5、四个常见函数的导数公式公式1（C为常数）0C)Q()(1nxnxnn公式2公式3.cos)(sinxx公式4.sin)(cosxx6、导数的四则运算法则7、复合函数的导数.)(vuvu.)(vuvuuv)0(''2'vvuvvuvu)()())((xufxfx8、对数函数的导数（1）xx1)(ln（2）exxaalog1)(logxxee)'(aaaxxln)'(9、指数函数的导数引例已知函数y=2x3-6x2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.（1）任取x1x2(2)作差f（x1）-f（x2）并变形（3）判断符号（4）下结论用定义法判断函数单调性的步骤：新课讲授引入函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？321fx=x2-4x+3xOyBA曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像可以看到：342xxy1.函数的导数与函数的单调性的关系：y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)(－∞,2)增函数减函数正负＞0＜0在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数./y/y/y奎屯王新敞新疆设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法结论：y′0增函数y′0减函数用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数（2）求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（3）求解不等式f′(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间注：单调区间不以“并集”出现。2、导数的应用：判断单调性、求单调区间例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数21fx=x2-2x+4xOy例题讲解21fx=2x3-6x2+7xOy例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.x1x1例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.21122111xxxxxxf(x1)－f(x2)=2112xxxx∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.证法二：(用导数方法证)x121x∵f′(x)=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，21x∴x2＞0，∴－＜0.∴f′(x)＜0，1x∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x例4当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.-22-11fx=x+1xxOy∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)x1例5已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.x1x1222)1)(1(1xxxxx解：y′=(x+)′=1－1·x－2=2)1)(1(xxx令＞0.解得x＞1或x＜－1.x1∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).2)1)(1(xxx令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.上是单调函数。例6(2000年全国高考题)设函数其中a0,求a的取值范围,使函数f(x)在区间21fxxax[0,)分析：求,当x∈时,看变化范围。fx[0,)fx例6（2000年全国高考题）设函数21fxxax其中a0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,)上是单调函数。22,[0,),[0,1),11xxfxaxxx解:10[0,)[0,)afxfx故当时,在上恒成立,即a1时,在递减;121212,[0,),xxxxfxfx又当0a1时,设有当时,=,221222121111xxxx1122即x-ax=x-ax=a,0ff122222a2a2a令x=0,可求得x=,所以有=,显然0,1-a1-a1-a[0,)fx0a1时,在上,不是单调函数.即211xx例7.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。231,fxax解:0,,)afx若则在(-恒正,fx只有一个单调区间,与题意不符.211133,333fxaxaxxaaa若a0,则0,],[,)afx11时有三个单调区间,(-,--3a-3a,11为它的减区间,为它的增区间.-3a-3a1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为()，则a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a133,333、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()(A)单调递增函数(B)单调递减函数(C)部份单调增，部分单调减(D)单调性不能确定课堂练习f(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f′(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数。课堂小结课后作业