32随机变量的独立性

随机变量的独立性电子科技大学Jan-20§3.2随机变量的独立性一、二维随机变量的独立性定义设(X,Y)是二维随机变量,若对任意实数对(x,y)均有随机事件A与B相互独立，若P(AB)=P(A)P(B)}{}{},{yYPxXPyYxXP成立，称X与Y相互独立.随机变量的独立性电子科技大学Jan-20意义对任意实数对(x,y)，随机事件{X≤x}、{Y≤y}都相互独立.例3.2.1等价条件:1.X与Y相互独立对任意实数(x,y)均成立.)()(),(yFxFyxFYX2.(离散型)X与Y相互独立{,}{}{}ijijPXxYyPXxPYy随机变量的独立性电子科技大学Jan-20对所有(xi,yj)均成立.注若否定结论,只需找到一对(i,j)使pij≠pi·p·j或pij=pi·p·j3.(连续型)X与Y相互独立在平面上除去“面积”为0的集合外成立.)()(),(yfxfyxfYX例3.2.2例3.2.3例3.2.4练习随机变量的独立性电子科技大学Jan-20二.多维随机变量的独立性定义设n维随机变量（X1,X2,…Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn)，若对任意实数x1,x2,…,xn均有称X1,X2,…Xn相互独立.,)(),,,(121niiinxFxxxF注对任意实数向量(x1,x2,…,xn),n个随机事件Ak={Xk≤xk},k=1,2,…,n，都相互独立.随机变量的独立性电子科技大学Jan-20思考随机事件A1，A2，…，An相互独立，应有以下P(Ai1Ai2…Ais）=P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais）2n-n-1个等式同时成立，缺一不可.如何理解？),,,(lim),(21,,4,321,21nnkxXXxxxFxxFk)()()()()(lim321211,,4,3nkXXXXniiinkxFFxFxFxF)()(2121xFxFXX随机变量的独立性电子科技大学Jan-20定理3.2.1若n维随机变量（X1,X2,…，Xn)相互独立，则任意k个随机变量(2kn)也相互独立.注随机变量相互独立则一定两两独立，但逆不真.例3.2.5定理3.2.1若n维随机变量（X1,X2,…，Xn)相互独立，则2).随机变量g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn)也相互独立.随机变量的独立性电子科技大学Jan-203)m维随机向量(X1,X2,…,Xm)与n维随机向量(Xm+1,Xm+2,…,Xn)也相互独立.4)随机变量h(X1,X2,…,Xm)与g(Xm+1,Xm+2,…,Xn)也相互独立.如3维随机变量X1,X2,X3相互独立，则X12,X22,X32也相互独立.X1+X2与X3也相互独立.sinX1与X3也相互独立.随机变量的独立性电子科技大学Jan-20X1+X2与X1－X2不一定相互独立.随机变量的独立性本质上是随机事件的独立性随机变量的独立性电子科技大学Jan-20例3.2.1设随机变量X的概率密度为--xxexf,21)(问X与︱X︱是否相互独立.分析1)直观判断X与︱X︱是否相互独立？}{}{}{bXPaXPbX,aXP对所有实数对(a,b)均成立.2)判定X与︱X︱相互独立，则需验证随机变量的独立性电子科技大学Jan-203)随机事件{X≤a}与{︱X︱≤a}有下述关系}{}{}{aXaXaaX-}{},{aXPaXaXP从而解对于任意给定的实数a0有}{}{}{aXaXaaX-)1(},{},{aXPaXaXP从而1}{01}{0aXPaXP，又随机变量的独立性电子科技大学Jan-20)2(},{}{}{aXPaXPaXP}{}{},{aXPaXPaXaXP即X与︱X︱不相互独立.随机变量的独立性电子科技大学Jan-20例3.2.3已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,0;10,8),(其他xyxyyxf问X,Y是否相互独立？解dyyxfxfX-),()(.10,4;10,03xxxorx.10,8;10,00xxydyxorxx10xy(1,1)G随机变量的独立性电子科技大学Jan-20-.10,44;10,0)(3yyyyoryyfY)()(),(yfxfyxfYX}10),{(xyyxG＝在区域.,不相互独立故YX随机变量的独立性电子科技大学Jan-20例3.2.4设随机变量X,Y相互独立,X~U(0,a),Y~U(0,/2)且0ba试求P{XbcosY}解;,0;0,1)(其他axaxfX.,0;20,2)(其他yyfY因为随机变量X,Y相互独立，则)()(),(yfxfyxfYX随机变量的独立性电子科技大学Jan-20aπ/20xybx=bcosyDdxdyaYbXPD2cos.22abDSa.,0;20,,2其他yaxoa随机变量的独立性电子科技大学Jan-20练习设随机变量X与Y相互独立,填出空白处的数值.11/61/8x21/8x1y3y2y1XY.ipjp.3/41/41/21/243/8随机变量的独立性电子科技大学Jan-20例3.2.2设随机变量(X,Y)具有联合概率密度其他xyxyxf0,1002),(问:X、Y是否相互独立？分析f(x,y)在如图所示区域内不等于0,在其余区域均等于0。oxy11随机变量的独立性电子科技大学Jan-20因为--xdyyxfxfX,),()(当x≤0或x≥1时,在整个积分路径上被积函数f(x,y)始终为0;因此y=x00-dyxfX)(当0x1时,xdyxfxX220)(oxy11随机变量的独立性电子科技大学Jan-20类似地,--ydxyxfyfY,),()(当y≤0或y≥1时,00-dxyfY)(当0y1时,)()(ydxyfyY-1221y=xoxy11随机变量的独立性电子科技大学Jan-20于是,其他1002xxxfX)(其他100)1(2)(-yyyfY故当0x1且0yx时,f(x,y)=2≠fx(x)fy(y)=4x(1-y)因此,X与Y不相互独立.找出了一个面积不为0的区域随机变量的独立性电子科技大学Jan-20例3.2.6将一枚均匀硬币独立地掷两次，引进随机事件如下}{1掷第一次出现正面A}{2掷第二次出现正面A}{3正、反面各出现一次A令.0,111否则，发生；当事件A.0,122否则，发生；当事件A随机变量的独立性电子科技大学Jan-20.0,133否则，发生；当事件A有}0{}0{41)(}0,0{212121PPAAPP}0{}1{41)(}0,1{212121PPAAPP}1{}0{41)(}1,0{212121PPAAPP}1{}1{41)(}1,1{212121PPAAPP随机变量的独立性电子科技大学Jan-20但因}0{}0{}0{210)(}0,0,0{3213321PPPPP即ξ1、ξ2、ξ3不相互独立.即ξ1与ξ2相互独立，同理可验证ξ1与ξ3，ξ2与ξ2也分别相互独立.