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6-1-2.还原问题-燕子班——教师版page1of20板块一、单个变量的还原问题【例1】某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？【解析】分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减去2，此数是：10212如果没除以2，此数是：12224如果没乘以3，此数是：2438如果没加上3，此数是：835综合算式1022335答：原数是5.【巩固】(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是。【解析】将最终结果进行逆推，得：666661（）【巩固】一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗?【解析】3672416244.【巩固】少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子?【解析】25255250（）(个)，即共采集了250个树种子.【巩固】(第七届《小数报》数学竞赛决赛填空题第6题)在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除以2；如果输入的数是奇数，就把它加上3．同样的运算这样进行了3次，得出结果为27．原来输入的数可能是．【解析】本题用倒推法解．最后结果是27，上一步的结果是54，再上一步的结果是108或51，原来输入的数是216，105，102．思路如下：21610810554271025148(24()不合题意)不合题意例题精讲还原问题6-1-2.还原问题-燕子班——教师版page2of20【例2】牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗?【解析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推．这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数．没加上8时应是：38830；没除以2时应是：30260；没减去16时应是：601676；没乘以2时应是：76238，即[388216]238（）(岁).【巩固】小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4.请你算一算，我今年几岁？”【解析】分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。这个数没除以5时应该是多少？没没加上6时应该是多少？没乘以7时应该是多少？没减去8时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没除以5，此数是：4520如果没加上6，此数是：20614如果没乘以7，此数是：1472如果没减去8，此数是：2810综合算式：4567810（岁）答：小康今年10岁。【例3】学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小朋友，你知道答案吗？【解析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．1010100，10010110，1101011，11101综合算式为：1010101010100101010110101011101（）（）所以这个数为1.解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．【巩固】学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道答案吗？【解析】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．16÷×64-5+3某数综合算式为：16645396453245329326【例4】一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后，缩小2倍，再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？【解析】从最后一个条件“恰好是100分”向前推算．扩大2倍是100分，没有扩大2倍之前应是100250(分)，加上10后是50分，没有加上10前应是501040(分)，缩小2倍是40分，那么没有缩小6-1-2.还原问题-燕子班——教师版page3of202倍前应是40280(分)，减去6后是80分，没有减去6前应是80686(分)．综合列式为：(100210)26402686(分)所以，小刚这次竞赛得了86分．【例5】在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少岁数?【解析】采用倒推法，(100106)41579（岁）.【巩固】学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？【解析】这就是一个还原问题，可以用倒推法解决．从结果“2000”逐步倒着推，没乘10时是多少？没减去15时是多少？没除以5时是多少？没加75时是多少？这样依次倒推，就可以知道神仙的年龄了．⑴“乘以10，恰好是2000”，不乘10时，应该是：200010200⑵“减去15”是200，不减15时，应该是：20015215⑶“除以5”是215，不除以5，应该是：21551075⑷现在的年龄加上75是1075，如果不加75，这个数是：1075751000也就是神仙现在的年龄是1000岁．验算：按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于2000，如果等于2000，则解题正确．1000751075，10755215，21515200，200102000．【例6】哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？【解析】被减数十位上的6变成9，使被减数增加906030，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，使减数减少了963，这样又使差增加了3，这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577，求正确的差．所以列式得：577969060544（）（）．这题的正确答案应该是544．【巩固】小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，那么正确的结果应该是多少呢？【解析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案)，由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数(错误结果)，我们知道引起这种变化的原因是：①把个位上的9看作6，这就相当于把正确答案减少了963②把十位上的6看作9，这就相当于把正确答案增加了：109630（）这样原题就变成了“一个数减去3，再加上30，所得结果是174，求这个数．”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果174961096174330147（）（）【巩固】淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?【解析】164(7349)188或164630188.【巩固】小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？【解析】倒推法，把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去．所以正确的和是：6-1-2.还原问题-燕子班——教师版page4of20123504169.即：123(8030)(95)169.【例7】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？【解析】根据题意，画图倒推分析：15924(米)2410228（）(米)282260（）(米)所以，这根绳子全长60米．【巩固】一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原来有多少米？【解析】为了帮助同学们分析数量关系，可依照题意画出右图。从线段图上可以看出：（1）7151012（米），就是第一次用去后余下的一半。（2）12224（米），就是余下的电线长度。（3）24327（米），就是全长的一半。（4）27254（米），就是原来电线的长度。综合列式计算：71510232(1223)227254（米）答：这捆电线原来有54米。【巩固】甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10余下的一半第一次用去的3米图210米第二次用去的全长的一半7米第三次用去的15米全长？米6-1-2.还原问题-燕子班——教师版page5of20个，还剩下25个没有加工，问：这批零件有多少个？【解析】如右图所示，按照图与题目的条件，可以有如下算式：251035（个）35270（个）701080（个）802160（个）列综合算式：(2510)2102160答：这批零件共有160个。【例8】货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。货场原有煤多少吨？【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图4，然后再分析。结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了然。根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。（1）剩余煤的吨数是：12002600（吨）（2）现有煤的一半是：60050650（吨）（3）现有煤的吨数是：65021300（吨）（4）原有煤的一半是：1300450850（吨）（5）原有煤的吨数是：85021700（吨）剩下的一半图3零件的一半10个10个？25个第二次运进450吨现有煤的一半第一次用去原有煤的一半图41倍第三次运出的原有煤？吨1200吨2倍50吨6-1-2.还原问题-燕子班——教师版page6of20答：货场原来有煤1700吨。【例9】食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下122千克．这批大米共有多少千克？【解析】列式为：[1228228]22002400（）(千克)【巩固】山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？【解析】2[1222]16（）(个).【巩固】修建一条下水道，第一周修了全长的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了30米，