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微积分初步及其在中学物理竞赛中的应用一、极限二、导数三、微分四、定积分解观察数列在∞→n时的发展趋势，得（1）对于数列1+=nnun，即,...1,...,43,32,21+nn即un的极限为1；（2）对于数列nnu21=，即,...21,...,21,21,2132n即un的极限为0；1.极限的概念一、极限1+=nnunnnu21=：(1)(2)引例1.观察下列数列的极限：引例２：观察下列函数在引例２：观察下列函数在xx→→１时的极限１时的极限解：在解：在xx＝１时，＝１时，f(xf(x))无意义，但可以知道在无意义，但可以知道在xx无论怎样接近无论怎样接近11时时f(xf(x))的值的值..5.030.010.05031.015.0030.0010.0050031.0015.00030.00010.000500031.00014.9997-0.0001-0.000499970.99994.997-0.001-0.0049970.9994.97-0.01-0.04970.99X-13x2-x+2x1x2xx32−+−1x2xx3)x(fy2−−−==———如果当自变量x无限接近某一数值x0(记作x→x0)时，函数f(x)的数值无限接近某一确定的数值a，则a叫作x→x0时函数f(x)的极限值。记作:极限的定义:axfxx=→)(lim0——函数的变化趋势5)23(lim1)1)(23(lim123lim1121=+=−−+=−−−→→→xxxxxxxxxx设)(limxf及)(limxg都存在（假定x在同一变化过程中），则有下列运算法则：法则1)(lim)(lim)]()([lim000xgxfxgxfxxxxxx→→→±=±．法则２)(lim)(lim)]()([lim000xgxfxgxfxxxxxx→→→⋅=⋅．法则３)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx→→→=).0)(lim(0≠→xgxx2.极限运算法则（1）1sinlim0=→xxx3.两个重要极限（2）e11lim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→xxx当x很小时：xx≈sinxx≈tan1sinlim0=→口口口e11lim=+∞→口口）口（e1lim10=+→口口口）（型∞1例1．求xxx4sin3sinlim0→.003040sin3sin343limlim()sin43sin443sin343limlim.43sin44xxxxxxxxxxxxxxxx→→→→=⋅⋅=⋅=例2．求20cos1limxxx−→.解：2122sinlim212sin2limcos1lim2022020=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==−→→→xxxxxxxxx．解:1sinlim0=→口口口例3．求xxx⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→31lim解：令ux=3,则ux3=333311lim1lim1lim1exuuxuuxuu→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞+=+=+=⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦．e11lim=+∞→口口）口（1.导数的概念引例1.变速直线运动的瞬时速度S(t0)S(t0+Δt)０S()()ttsttstsv00Δ−Δ+=ΔΔ=当tΔ很小时，v可作为物体在0t时刻的瞬时速度的近似值.且tΔ越小，v就越接近物体在0t时刻的瞬时速度，即平均速度()().ttsttslimtslimvlim)t(v000t0t0t0Δ−Δ+=ΔΔ==→Δ→Δ→Δ物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限.二、导数ABTNLMoyx)(xfy=0Mαϕ在曲线L上点0M附近，再取一点M,作割线0MM，当点M沿曲线L移动而趋向于0M时，割线0MM的极限位置0MT就定义为曲线L在点0M处的切线.斜率为引例2.平面曲线的切线斜率000000)()(limlimtanlimtanxxxfxxfxyxxx−−+=ΔΔ==→Δ→Δ→Δϕα曲线)(xfy=在点0M处的纵坐标y的增量yΔ与横坐标x的增量xΔ之比，当0→Δx时的极限即为曲线在0M点处的切线斜率.设函数)(xfy=在点0x的某一邻近区间内有定义，当自变量x在0x处有增量0Δ(Δ0,Δxxxx≠+仍在该邻域内)时，相应地函数有增量00Δ(Δ)()yfxxfx=+−，如果Δy与Δx之比ΔΔyx当Δ0x→时，极限导数的定义00Δ0Δ0(Δ)()ΔlimlimΔΔxxfxxfxyxx→→+−=存在，那么这个极限值称为函数)(xfy=在点0x的导数.并且说，函数)(xfy=在点0x处可导。导数---增量比的极限，反映了函数的变化率（快慢）（1）如果)(xf在)b,(a内可导，那么对应于)b,(a中的每一个确定的x值，对应着一个确定的导数值)(xf′------)(xfy=的导函数（导数）记为),x(f0′0xx'y=，0d)(dxxxxf=或0ddxxxy=即00000(Δ)()Δ()limlimΔΔxxfxxfxyfxxxΔ→Δ→+−′==（2）高阶导数：函数)(xfy=的导函数)(xf′再对x求导，可得二阶导数，即：[]0xx0)x(f)x(f=′′=′′依次类推，可得三阶、四阶导数等.导数的几何意义与物理意义ABTNLMoyx)(xfy=0Mαϕ)(xfy=z导数的几何意义：在点x0处的导数等于函数所函数表示的曲线L在相应点（x0,y0)处的切线斜率.z导数的物理意义：变速直线运动的速率设函数）（xuu=与）（xvv=在点x处可导,则：(1)）（）（）（）（xvxuxvxu′+′=′±][;(2))()()()(])()([xvxuxvxuxvxu′+′=′,特别地）（）（xuCxCu′=′][(C为常数);(3)）（）（）（）（）（）（）（xxxuxxuxxu2υυ′−υ′=′⎥⎦⎤⎢⎣⎡υ)0)((≠xv,特别地,当Cxu=）（(C为常数)时,有）（）（）（xvxvCxvC2′−=′⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.导数的运算法则基本初等函数的导数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2=′=′=′=′xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21−=′−=′−=′=′−μμμaxxaaaaxxln1)(logln)(=′=′xxeexx1)(ln)(=′=′定理2.如果函数()uxϕ=在点x处可导,而函数)(ufy=对应的点u处可导,那么复合函数[()]yfxϕ=也在点x处可导,且有xuuyxydddddd=或(){}fxϕ′⎡⎤⎣⎦=()()fuxϕ′′.3.复合函数的求导法则?sin2==dxdyxy问题:例如:求xy2sin=的导数．sinxuuy2==xcosxsin2xcosu2)x(u)u(ydxdy==′′=解：函数xysin=可以看作由函数uysin=与xu=复合而成．因此：xxxuxuy2cos21cos)()(sin==′′=′.例8．求xysin=的导数．.cscsin121.2cos1.2sin2cos)2)(2(sec2tan12tan2tan1)2tan(ln22xxxxxxxxxxxy===′=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′=′例9．求函数2tanlnxy=的导数．解:定理(极值的必要条件)设)(xf在点0x处具有导数,且在点0x取得极值,那么0)(0=′xf．xyO4.导数的应用4.1判断极值条件x0例．一质点自倾角为α的斜面的上方O点，沿一光滑斜槽OA下降，如欲使质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽OA与竖直线所成之角θ应为何值？α−π=∠2OBA[]()α−π=α−π−θ−π2sin)2(sin__________OAOBα=θ−αcosOA)cos(OB____________________)cos(cosOBOAθ−αα=2_____cos21tgOAθ=OB)cos(coscosg2t2•θ−αα•θ=解I:在△OAB中，，由正弦定理得：即：又因为α、_____OB为定值，θ为变量，要使t最小，只要分母最大，即分母对θ的一阶导数为零，即()()θ−αθ−α=θθcossincossinθ−α=θ2/α=θ即2α=θ时，t最小。()[]()()()[]()()0dd=−+−−=−⋅−−+−−=−θαθθαθθαθθαθθαθθsincoscossin1sincoscossincoscos解法Ⅱ:模型:质点从O点沿不同倾角的光滑斜面到达A、C点，所需时间相同。在OB上取一点O’为圆心，作过O并与斜面相切的圆，切点为A，则质点沿OA斜面下滑到斜面时所需时间最短。此时：2/α=θ光学费马原理极值∫=⋅BAdsn光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马原理:光在空间两定点A、B间传播时，实际光程为一特定的极值。极小值极大值恒定值i.用费马原理证明直线传播定律∫∫⋅=⋅BABAdsndsnconstn=.ABdsBA的极小值为直线∫在均匀介质中：几何公理：两点之间直线距离最短光在均匀介质中沿直线传播证:通过空间两点A、B可以作无数个平面，其中必有一个平面垂直于两种介质n1和n2之间的界面，OO’是它们的交线。通过A点折射到B点的入射线交界面于C点，求C点的位置。ii.用费马原理证明折射定律(a)C点必在OO'上如果有另一点C'位于线外，则对应于C’，必可在OO’线上找到它的垂足C''BCACBCAC''''''++'''ACACBCBC'''因为而非极小值．(b)确定C(x,0)点在OO’上的位置使为极值的条件为Δ通过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的入射和折射的光程222222212111)()()()(ddyxxxxnyxxxxnx+−−−+−−=Δ222222121121)()(yxxnyxxnCBnACn+−++−=+=Δ0sinsin''221121=−=−=ininCBCBnACCAn2211sinsininin=即5.2求曲线的曲率半径曲线：)(xfy=)x(y)]x(y1[R02302′′′+=例一飞机沿抛物线路径40002xy=做俯冲飞行，在原点O处的速度为400=vm/s飞行员体重70kg，求此时飞行员对座椅的压力．解：设支持力为N，于是RmvmgN2=−（R为原点o处的曲率半径）ymgOxNNmgRmvN63002=+=02000xy0x==′=20001y=′′，2000y]y1[R232=′′′+=5.3已知运动学方程(位移-时间关系)求速率dtdva=()().limlimlim)(000000ttsttstsvtvtttΔ−Δ+=ΔΔ==→Δ→Δ→Δdtdsv=例如:200021tatVss++=taVdtdsv00+==0adtdva==()().ttvttvlimtvlimalim)t(a000t0t0t0Δ−Δ+=ΔΔ==→Δ→Δ→Δ例如:匀加速直线运动200021tatVss++=taVdtdsv00+==0adtdva==例如：圆周运动的角量描述()tϕ=ϕ(1)运动方程(３)角量与线量的关系ϕΔdtdtlim0tϕ=ΔϕΔ=ω→Δdtdtlim0tω=ΔωΔ=β→Δ(匀速圆周运动角加速度β为零）(2)角位移、角速度、角加速度ABRϕ∩=Δω=Rvβ=τRaω=ΔϕΔ=ΔΔ=→Δ∩→ΔRtRlimtLlimv0t0tRRva22nω==β=ΔωΔ=ΔΔ=→Δ→ΔτRtRlimtvlima0t0t角位移角速度角加速度例如:简谐振动的速度,加速度表达式x)tcos(Adtdva)tsin(Adtdxv)tcos(Ax20200ω−=ϕ+ωω−==ϕ+ωω−==ϕ+ω=kxF−=xmka−=()例．如图所示，人在竖直岸上通过绳子拉小船，岸高为h，人以速率V0匀速运动，求绳子与水平面夹角为θ时小船的速率V.解一：由于绳子不可伸长，故小船沿绳的分速度应等于人的速度，即将船的速度沿绳方向和垂直于绳方向分解，如图所示，可得θ=cosVV0θ=cosVV0说明：小船绕绳子的转动速度为Vθ=θ=′tanVsinVV0解法二222xhs+=dtdx