微分

四函数的微分(一)、微分的定义(二)、微分的计算(三)、微分在近似计算中的应用1.引例2.微分的定义3.可微的条件4.微分的几何意义(一)、微分的定义实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,xs20正方形面积2020x)xx(s.)(220xxx)1()2(;s,x的主部且为的线性函数.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xx2)(xxx0xx01.引例2.微分的定义定义.xAdy),x(dfdy,x)x(fyxA,x)x(fy),xA)(x(oxA)x(f)xx(fyy,xxx,x)x(fy00xx0xx000000即或记作的微分在点称为可微在点则称无关与其中可写成如果时处取增量在当的某一邻域内有定义在设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydy)ydy();x(odyy)1(的线性主部为;dy~y,0A)2(时当.dyy,x)3(很小时当的关系与dyy)xA)(x(ody)x(oxAy无关与其中3.可微的条件).x(fA,x)x(fx)x(f000且处可导在点可微在点函数性质3.7证(1)必要性,)(0可微在点xxf),(xoxAy,)(xxoAxyxxoAxyxx)(limlim00则.A).(,)(00xfAxxf且可导在点即函数(2)充分性),x()1(ox)x(fy0从而)x(fxy0即,)(0可导在点函数xxf),(lim00xfxyx),()(0xoxxf.)(,)(00Axfxxf且可微在点函数).(.0xfA可微可导.)(),(,,)(xxfdyxdfdyxxfy即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数),1(o.)(dxxfdy当y=x时,dy=dx例1解.02.0,23时的微分当求函数xxxyxxdy)(3.32xx02.02202.023xxxxxxdy.24.0).(xfdxdy..微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分dxdy4.微分的几何意义)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyox几何意义:.x)x(fx)x(fdy处切线纵坐标的改变量在就是在xx0PQxPQ)x(ftanPQx)x(f)x(oNPPQdy,NQydydxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式dx_________)x(cscddx__________)x(secddx_________)x(cotddx_________)x(tanddx_____)x(cosddx_____)x(sinddx_____)x(d___)C(d(二)、微分的计算01xcosx-sinx-cscxcotxsecxtanxxsec2xcsc2dx______)xcotarc(ddxx11(________)ddx______)x(arccosddx______)x(arcsinddx____)x(lnd,dxx1(___)ddx_____)x(logddxe(___)dadxlna(___)d2axx2.函数和、差、积、商的微分法则2)x(g)x(dg)x(f)x(df)x(g))x(g)x(f(d)x(dg)x(f)x(df)x(g))x(g)x(f(d)x(Cdf))x(Cf(d)x(dg)x(df))x(g)x(f(dxaxealnx1xlnx12x112x11arctanx2x11例2.),ln(2dyexyx求设例3).0(dydy,xcoseyx31及求设3.复合函数的微分及微分形式不变性(x)dxg[g(x)]fdf[g(x)],xf[g(x)]y,g(x)uf(u),y9.3且可微关于则可微设性质dy),f(ey4x-求例dy),x(fyeyx:5xy2求确定由例微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx是自变量时若则微函数的可即另一变量是中间变量时若),t(gxt,x)2(),()(xfxfy有导数设函数dt)t(g)x(fdy,dxdt)t(g.)(dxxfdy结论：的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx微分形式的不变性dxxfdy)(例5解.),12sin(dyxy求设.12,sinxuuyududycos)12()12cos(xdxdxx2)12cos(.)12cos(2dxx例6在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd例6解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd),t(sindtdtcos)1()t(sind1)t(tdcos1tdtcos.cos)sin1(tdtCtd);sin1(tddxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22,cos42xxx).()cos4()(sin22xdxxxxd(三)、微分在近似计算中的应用x)x(fdyy,x)1(0很小时当计算公式x)x(f)x(f)xx(f,x)2(000很小时当x)0(f)0(f)x(f,x)3(很小时当.,0.1cm,10cm,x80精确值体积增加的近似值求正方体若棱长增加正方体的棱长例x1e,x9x很小时证当例1|x|取