第一章 事件与概率

概率论与数理统计概率论与数理统计冯群强Email:[e-mail]:0551-63600846概率论与数理统计1.1节概率论发展简史第一章事件与概率概率论与数理统计概率论的起源1650年前后的法国,赌博在贵族中风靡一时,且无法律限制.Pascal与他的另一名好友数学家PierreFermat通信讨论该问题,形成了概率论中一个重要的基本概念—数学期望.贵族DeMere在与一名宫廷卫士一次赌博时关于如何分赌本的问题发生了争执,于是请教他的好友著名的数学家BlaisePascal.概率论是一门研究随机现象规律的数学分支,起源于17世纪中叶.概率论与数理统计PascalFermat概率论与数理统计古典概率论的奠基人HuygensChristiaanHuygens在1657年写了世界上第一本关于概率论的著作Deratiociniisinludoaleae(“OnReasoninginGamesofChance”),中文译名“论赌博中的计算”.概率论与数理统计Bernoulli1713年,JacobBernoulli在著作ArsConjectandi中对频率和概率接近这一事实给予了理论上的阐述,建立了概率论中的第一个大数定律—Bernoulli大数律.概率论与数理统计DeMoivre1718年,AbrahamDeMoivre在他的著作TheDoctrineofChances中提出很多计算古典概率的方法,包括乘法定理等.概率论与数理统计Laplace1812年,Pierre-SimonLaplace在著作TheorieAnalytiquedesProbabilities(“分析概率论”)中最早叙述了概率论的几个基本定理,给出了古典概率的明确定义.概率论与数理统计概率论公理体系的建立概率论从此得到了迅速的发展,被广泛地应用到了不同的范畴和不同的学科.今天,概率论已经成为一个非常庞大的数学分支,在此基础上,数理统计也得到了迅速的发展.1933年,AndreyKolmogorov在著作GrundbegriffederWahrscheinlichkeitsrechnun(“FoundationsoftheTheoryofProbability”)中正式提出了概率论的公理体系,从而使得概率论成为一门严谨的数学分支.概率论与数理统计AndreyKolmogorov前苏联人AndreyKolmogorov(1903--1987)是20世纪最伟大的数学家之一.概率论与数理统计111.2节概率论的几个基本概念第一章事件与概率概率论与数理统计事件的独立性全概率公式和Bayes公式条件概率概率的定义及性质事件的运算随机试验和随机事件概率论与数理统计随机现象和随机试验举例说明随机现象和随机试验.随机试验的要求:结果至少有两个;每次只得到其中一种结果且之前不能预知;在相同条件下能重复试验.随机试验:随机现象的实现和对它某特征的观测.随机现象:自然界中的客观现象,当人们预测它时,所得结果不能预先确定,而仅仅是多种可能结果之一.概率论与数理统计随机事件随机事件常用大写英文字母A,B,C等表示.如果用语言表达,则要用花括号括起来.随机事件:简称事件,在随机试验中我们所关心的可能出现的各种结果,它由一个或若干个基本事件组成.抛硬币3次有8种可能结果,每种结果都是基本事件.基本事件:随机试验中的每个单一结果,它就像原子,在化学反应中不能再分.概率论与数理统计样本空间ΦΦΦΦΦΦΦΦ不可能事件(φ):在试验中不可能发生的事件.必然事件(Ω):在试验中一定会发生的事件.例考察某一地区的年降雨量,则Ω={x|0≤xT},这里T表示某个常数,表示降雨量不会超过T.例掷一枚骰子,观测出现的点数,则Ω={1,2,3,4,5,6}.样本空间:随机试验中所有基本事件所构成的集合,通常用Ω或S表示.概率论与数理统计事件的运算若A⊂B,且B⊂A,则称事件A与事件B相等,记为A=B.子事件A⊂B:事件A发生蕴含事件B一定发生,则事件A称为事件B的子事件,记为A⊂B.可以证明,把样本空间中的基本事件与空间中的点相对应,则事件与集合相对应,因此事件运算和集合运算可以建立一一对应的关系.概率论与数理统计如果A∩B=φ,则称A和B不相容,即事件A和B不能同时发生.事件的积(A∩B):事件A和事件B同时发生这一事件称为事件A和事件B的积,记为A∩B.事件的和(A∪B):事件A和事件B中至少有一个发生的这一事件称为事件A和事件B的和,记为A∪B.概率论与数理统计cAcA事件A和事件B的差A−B:事件A发生而事件B不发生这一事件称为事件A和事件B的差,记为A−B.对立事件:A不发生这一事件称为事件A的对立事件(或余事件).概率论与数理统计DeMorgan对偶法则上面公式可以推广到n个事件:DeMorgan对偶法则概率论与数理统计什么是概率对一个随机事件A,通常我们用符号P(A)表示它发生的概率.什么叫概率?直观地讲,概率是随机事件发生可能性大小的数字表征,其值在0和1之间,换句话说,概率是事件的函数.概率论与数理统计(一)古典概型古典概型的两个基本条件:(1)有限性:随机试验的结果只有有限个(记为n);(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性相同.概率论与数理统计(二)概率的统计定义思考:如果试验不能在相同的条件下独立重复很多次时该怎么办?古典概型的两个条件往往不能满足,此时如何定义概率?常用的一种方法是把含有事件A的随机试验独立重复做n次(Bernoulli试验),设事件A发生了nA次,称比值nA为事件A发生的频率,当n越来越大时,频率会在某个值p附近波动,且波动越来越小,这个值p就定义为事件A的概率.概率论与数理统计统计定义的两个例子英文字母被使用的频率是相当稳定的.在福尔摩斯探案集第四本《跳舞的小人》中,福尔摩斯用频率破了丘比特和埃尔茜之间联络密码.概率论与数理统计计算机出现后,法国人J.Guilloud计算了π的前100万位小数,发现各个数字出现的频率相同.1872年英国人W.Shanks把π算到第707位,1944到1945年之间数学家D.Ferguson认为π的小数位的数字对0到9应该是等可能的,但核对Shanks的结果发现数字7太少,故对Shanks的结果有怀疑,重新计算发现前527位是正确的,后面有错误.概率论与数理统计(三)主观概率但是当前用频率来定义概率的频率派仍是数理统计的主流.焦点是频率派认为概率是客观存在,不可能因人而异.这种概率称为主观概率,这类概率有相当的生活基础.在金融和管理等方面有大量的应用,这一学派称为Bayes学派,近来得到越来越多的认可.人们常谈论种种事件出现机会的大小,如某人有80%的可能性办成某事.而另一人则可能认为仅有50%的可能性.即我们常常会拿一个数字去估计这类事件发生的可能性,而心目中并不把它与频率挂钩.概率论与数理统计(四)概率的公理化定义为了对可数无穷个事件仍能成立,我们要把上面公式中的两个事件推广到可数无穷个两两不相容的事件序列:仅对概率运算规定一些简单的基本法则:概率论与数理统计古典概型的计算r概率2350%5097.3%10099.99996%一些特殊的r例(生日问题)一个班有r个人,不计2月29日出生的(即假定一年为365天),问至少有两人同一天生日的概率是多少?概率论与数理统计总结古典概率的计算要点:1.选择合适的样本空间;2.运用排列组合的知识.例盒中有32只红球和4只白球,现从中任摸2球,求两球中至少有一个白球的概率.概率论与数理统计什么是条件概率例如两个工厂A和B生产同一品牌的电视机,商场中该品牌有个统一的次品率,比如0.5%,如果你从某个途径知道该商场的这批电视机是A厂生产的,则你买到的电视机的次品率不再是0.5%,而应该比0.5%要小,这个概率就是条件概率,即你在知道了这批电视机是A厂生产的附加条件下的概率就是条件概率.一般讲,条件概率就是在知道了一定的信息下所得到的随机事件的概率.概率论与数理统计条件概率的定义概率论与数理统计条件概率的计算例掷两个骰子,观测出现的点数,分别以x和y表示第一和第二颗般子掷出的点数,记A={(x,y):x+y≥9},B={(x,y):xy},求P(A|B)和P(B|A).例有10个产品,内有3个次品,从中一个个地抽取(不放回)检验,问第一次取到次品后第二次再取到次品的概率.概率论与数理统计思考题这是著名数学家,信息论的创建者之一A.Weaver设计的,1950年他在《科学美国人》(ScientificAmerican)上介绍过这个例子.有三张相同的卡片和一顶帽子,第一张卡片两面都画有圈,第二张卡片一面画圈,一面画星,第三张卡片两面都画星.现在庄家把卡片放在帽中摇晃,然后让你任取一张,把它放在桌上,设你看到卡片上面的图案为圈,然后庄家与你打赌下面的图案与上面一样时算庄家赢,不一样是为你赢.请问这样的赌博是否是公平的?概率论与数理统计乘法定理概率论与数理统计乘法定理的应用例袋中有一个白球和一个黑球,现每次从中取出一球,若取出白球,则把白球放回且再另加入一个白球,直至取出黑球为止.求取了n次都未取出黑球的概率.例将n根短绳的2n个端头任意两两连接,求恰好连成n个圈的概率.例某人忘了某饭店电话号码的最后一个数字,因而随意拨号,问他三次之内拨通电话的概率.概率论与数理统计样本空间的分割设B1,B2,···Bn是样本空间Ω中的两两不相容的一组事件,即BiBj=φ,ij,且满足=Ω,则称B1,B2,···,Bn是样本空间Ω的一个分割(又称为完备事件群,英文为partition).≠iniB1=概率论与数理统计全概率公式概率论与数理统计全概率公式的应用例(Polya罐模型)罐中放有a个白球和b个黑球,每次从罐中随机抽取一个球,并连同c个同色球一起放回罐中,如此反复进行.试求在第n次取球时取出的是白球的概率.例设某厂产品的一个零部件是由三家上游厂商供货的.已知有一半是A厂提供的,B厂商和C分别提供25%.已知厂商A和B的次品率都是2%,C的次品率为4%,从该厂产品中任取一个产品,问该产品的这个零部件是次品的概率.概率论与数理统计Bayes公式什么情况下用Bayes公式?由公式知,分母就是事件A的概率,而分子和等式左边的条件概率中的条件正好反过来.所以我们知道在因果关系互换时必须用Bayes公式.概率论与数理统计Bayes公式的应用想一想:计算出的结果是否出乎你的意料之外?这是因为什么原因造成的呢?例一种诊断某癌症的试剂,经临床试验有如下记录:有癌症病人阳性的概率为95%,无癌症病人阴性的概率为95%.现用这种试剂在某社区进行癌症普查,设该社区癌症发病率为0.5%,问某人反应为阳性时该人患癌症的概率.概率论与数理统计事件的独立性定义设A,B是随机试验中的两个事件,若满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件A和B相互独立.为了计算两个事件同时发生的概率,可以运用乘法定理,P(AB)=P(A|B)P(B).什么情况下P(AB)=P(A)P(B)?即A和B同时发生的概率等于两个事件单独发生概率的乘积?为此我们有如下的定义:概率论与数理统计关于独立性的补充说明例如把一个硬币掷两次,观测正反面出现的情况.事实上,我们容易判断第一次是否出现正面与第二次是否出现正面没有任何影响,即独立的.从而,由独立性的定义可以推知A与B的补事件也是独立的.由此我们可以把独立性的概念推广到多个事件的情形.关于独立的概念,应该是从实际出发,如果能够判断事件B的发生与否对事件A的发生与否不产生影响,则事件A和B即为独立.概率论与数理统计多个事件的独立性注2上面等式等价于对A1,A2,···,An中的任意k个事件Ai1,Ai2,···,Aik,k=2,···,n,有P(Ai1Ai2···Aik)=P(Ai1)P(Ai2)···P(Aik).定义设A1,A2,···An是随机试验中的n个事件,以B表示A或A的补之一.若满足P(B1B2···Bn)=P(B1)P(B2)···P(Bn),则