位移法

结构力学建工系结构教研室课件研制：孟胜国2005年一、解题思路第七章用位移法计算超静定结构第一节位移法的基本概念qClløBøBBA(a)CABqøBøB(b)ABCøBABqC(d)(c)CøBøBBACøBøBBACBA(d’)(c’)(b’)Z1=øBZ1=øBqqRR11R1P以图（b’）、（c’）（d’）分别代替图（b）、（c）、（d）：qClløBøBBA(a)原结构：CøBøBBACøBøBBACBA(d)(c)(b)基本体系：Z1=øBZ1=øBqqRR11R1P1、基本体系2、平衡条件R11+R1P=0因为：R11=r11Z1(见下图）所以：r11Z1+R1P=0Z1=－R1P／r11CøBøBBAr11Z1=１2、解题步骤（1）选取位移法法基本体系；（2）列位移法基本方程；（3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图；（4）求位移方程各系数，解位移法方程；（5）依M=M1X1+M2X2+……+MP绘弯矩图，进而绘剪力图、轴力图。3、解题示例qClløBøBBA原结构CøBøBBA基本体系Z1qACBAZ1=1CBM1图2ql/82ql/8Mp图2EI/l4EI/l3EI/l01111pRZr解：位移法方程lEIlEIlEIr73411821qlRPEIqllEIqlrRZp5678321111式中：依M=M1+MP绘弯矩图,依M图绘剪力图:CBACBAM图2ql/8Q图ql/28ql/14224ql/73ql/73ql/28依内力图求支座反力:MA=ql/28();VA=3ql/28();VB=19ql/28();VC=3ql/7()2第二节等截面直杆的转角位移方程一、为什么要研究等截面直杆的转角位移方程1、位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）作为其计算基础的。2、等截面直杆的杆端力与荷载、杆端位移之间恒具有一定的关系——“转角位移方程”。3、渐近法中也要用到转角位移方程。二、杆端力的表示方法和正负号的规定1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。PBAMAB0MBA02、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同“材力”。PBAQBA0QAB03、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示。fQBAQABMABMBAPqABABlBAB三、两端固定梁的转角位移方程fBAbaABfABbaABfBAbABAfABBAABQlEIlEIlEIQQlEIlEIlEIQMlEIlEIlEIMMlEIlEIlEIM3223222212661266642624A称为“旋转角”，则：称为“线刚度”、：令llEIiABfABABBAABMiiiM624四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程fBAbaABfABbaABBAfABAABQlEIlEIQQlEIlEIQMMlEIlEIM323223333033称为“旋转角”，则：称为“线刚度”、：令llEIiABfABABAABMiiM33五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程fBAABAfABAABMiMMiMfBAABAfABAABMlEIMMlEIM第三节基本未知量数目的确定一、基本未知量1、结点角位移2、结点线位移ABCDBCBC二、基本假设1、小变形假设。2、不考虑轴力和弯曲内力、弯曲变形之间相互影响。（采用上述假设后，图示刚架有3个基本未知量。）三、如何确定基本未知量4、确定线位移的方法（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也是不动点。（2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数目。1、在刚结点处加上刚臂。2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。（见上例）1角2线2角1线1角2线2角1线2角2线或1角1线1角1线如何确定基本未知量举例：第四节位移法典型方程及计算步骤一、位移法典型方程000321RRR1、建立位移法方程的条件、位移法方程及各符号的意义：000333323213123232221211313212111PPPRZrZrZrRZrZrZrRZrZrZr00022112222212111212111nPnnnnnPnnPnnRZrZrZrRZrZrZrRZrZrZr2、位移法的典型方程：3、几点说明（1）主系数、副系数、刚度系数、自由项。（2）两类系数：附加刚臂上的反弯矩；附加链杆上的反力。（3）位移法的实质：以结点未知位移表示的静力平衡条件。4、解题步骤（1）选取位移法法基本体系；（2）列位移法基本方程；（3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图；（4）求位移方程各系数，解位移法方程；（5）依M=M1X1+M2X2+……+MP绘弯矩图，进而绘剪力图、轴力图。第五节位移法应用举例例题1试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。0022221211212111PPRZrZrRZrZr2、写出位移法方程解：1、选取位移法基本体系MKNRMKNREIrrEIEIEIrEIEIEIrPP.45.5.2236723234323221211222113、绘单位弯矩图、荷载弯矩图并计算各系数4、解方程，求得EIZEIZ73.4656.28215、依M=M1X1+M2X2+MP绘弯矩图例题1试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。3m3m6m6m30kn10kn/m原结构基本体系30kn10kn/mZ1Z2EI/32EI/32EI/3EI/3M1图M2图MP图M图(KN.M)2EI/3EI/3EI/2454522.522.54532.023.464521.6345Z1=1Z1=1r112EI/32EI/30022221211212111PPRZrZrRZrZr3、绘单位弯矩图、荷载弯矩图并计算各系数MKNRMKNREIrrEIEIEIrEIEIEIrPP.45.5.2236723234323221211222114、解方程，求得EIZEIZ73.4656.282130kn10kn/mZ1Z2EI/32EI/3EI/3M1图Z1=12EI/3M2图MP图2EI/3EI/3EI/2454522.522.545Z2=1解：1、选取位移法基本体系2、写出位移法方程基本体系5、依M=M1X1+M2X2+MP绘弯矩图（见上页）例题2试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。0022221211212111PPRZrZrRZrZr解：1、选取位移法基本体系2、写出位移法方程Z1Z2MKNQQRRirriiiiQQriiirCDBAPPCDBA.60302420404030023161541)2323(414373421211222113、绘单位弯矩图、荷载弯矩图并计算各系数4、解方程，求得0161523023722121PRZiZiZiiZiZiZ2322402348021第六节建立位移法方程的另一作法------由原结构取隔离体直接建立平衡方程一、“新法”与“老法”的概念：1、新法：通过基本结构列位移法方程，进而求解结点未知位移的方法。2、老法：不通过基本结构，直接依据“转角位移方程”，由原结构取隔离体，利用平衡条件直接建立位移法方程的方法。二、取隔离体建立平衡方程（老法）的解题步骤、举例：例题1试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。ABCD086103422221DCCDCBMZlEIMZlEIZlEIM2111248630486302ZlEIZlEIMZlEIMZlEIMBCBAAB1、写出杆端力的表达式：),(21cBZZ2、根据平衡条件列位移法方程：00CDCBBCBAMMMM0)86103()42(0)24()86304(2221211ZlEIZlEIZlEIZlEIZlEIZlEI045673205.2232342121ZEIZEIZEIZEIEIZEIZ73.4656.2821解方程，求得BMBCMBACMCDMCBABCD3、将求得的Z1、Z2代回杆端力表达式，绘弯矩图063.218610363.21422221DCCDCBMmkNZlEIMmkNZlEIZlEIMmkNZlEIZlEIMmkNZlEIMmkNZlEIMBCBAAB46.32446.38630402.32863022111例题2试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。2121462464ZiiZMZiiZMDCCD12230842043iZMMMZiMCBBCBAAB1、写出杆端力的表达式：),(21HBCCZZ21221222243234124630163242041842043ZiZiZiZiQZiZiQCDBA2、根据平衡条件列位移法方程：0300CDBACDCBQQMM0)4323()30163(0)234()3(212211ZiZiZiZiiZiZCMCDMCBCB30kNQBAQCD03016152302372121ZiZiZiiZ即：整理后，得：3、将求得的Z1、Z2代回杆端力表达式，绘弯矩图mkNZiiZMmkNZiiZMDCCD.3.104462.6.624642121mkNiZMMMmkNZiMCBBCBAAB.6.6230.113842043122解方程，求得iZiZ2322402348021第七节对称性的利用一、半刚架法用半个刚架的计算简图代替原结构对刚架进行分析的方法。二、对称结构承受对称荷载1、奇数跨刚架：用带有定向支承的半刚架代替。2、偶数跨刚架：简化为带有固定端的半刚架。二、对称结构承受反对称荷载1、奇数跨刚架：简化为带有竖向链杆刚架。2、偶数跨刚架：简化为中间竖柱抗弯刚度减半的半刚架。三、对称利用举例：80kn15kn/m40kn40kn15kn/m40kn40kn40kn15kn/m40kn四、练习：4kN.m1、利用位移法计算图示结构，绘M图。已知：4423104;/101.2cmIcmkNE8m3m4m2m0.02mABCDEF16EI4EI5EI4kN.m0.02mABCDEF16EI4EI5EI1Z基本体系ABCDEF16EI2EI4EI11Z2EI4EI6EI图1MBCD4图、CPMM4126位移法方程：011111cpZr0126414EI.10037.176131radEIZ34.8617.4373.724).(mkNM图434.8617.43结构弯矩图如下:2、试绘制结构弯矩图。已知：EImkNq/20qABCD12m6mq1Z11Zi6060iii基本结构图1M图PM位移法方程：01111pZr060321ZiiZ9011309015090).(mkNM图EIEI3、利用对称性绘制结构弯矩图。PPa/2aa/24、利用位移法求图示结构未知结点位移,