位移计算举例

§4-5图乘法位移计算举例kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线kidxEIMM直杆αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ω注：y0=x0tgα①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。④面积ω与竖标y0在杆的同侧，ωy0取正号，否则取负号。⑤几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4EIPllPlEIB162142112==ql2/2MMPMPP=1lM↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqABEIqlllqlEIB843231142==D例：求梁B点转角位移。例：求梁B点竖向线位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432==Da/2a/2PaaaEI=D343211Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×llEIyC22210××==Dw5Pl/6？？⑦非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl=226dc323bl2dc332al=2yydxMMki=2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）32649S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=332364（3）9（2）32649（4）2369＝labdch+bah232dchl()226bcadbdaclS=b)非标准抛物线乘直线形E=3.3×1010N/m2I=1/12×100×2.53cm4=1.3×10-6m4折减抗弯刚度0.85EI=0.85×1.30×10-6×3.3×1010=3.6465×104Nm2例：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C点的挠度。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABC解：q=25000×1×0.025＝625N/m折减抗弯刚度0.85EI=3.6465×104Nm2200378P=10.8MPM↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3()cmm2.01026.03.534.0555533.02206465.313===y3ω2y22202.2200211==w533.08.0321==y)(85.01332211yyyEICwww=D5552.2378322==w4.08.0212==y3.538.0200313==w6.08.0433==yP=111ly1y2y3M23=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222==EIqllqllqllqlEI()1332211=DMyyyEI=N0=N↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPω1ω2ω2BNP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==DPNEAqlEAlqlEAlNN求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163M)()=EI-756×××3322318××××EI643636311×××2639632(××××××=DEI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN6m3m3mABEI=常数999994kN4kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m4m4mEIAB求θB5kN12844MPkN.m1MkN.mql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1EIqllqllllqlEIBV241128323223211422==Dql2/83ql2/2MPlM求B点竖向位移。()5.04181425.08264()5.085.0122641=EIB75.04432EI320=5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020DAHEI=11255056101255023102352541210125252310121010101310121020102310=31875.EI=1594102.m求A点水平位移。P=1MPql2/2ll/2AB2EIEIl/2M求B点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212lqllqllqllqllEI8222822265.0212222lqlEIlB432831122=DEIqlllqlEIB843231142==DylqlEIB283312102=DLq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0求ΔDVPPP4m×3=12m3mABDC－8PP=1－4/30000000000EAPPPPEADV3280434853553131==D例：试求等截面简支梁C截面的转角。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/54l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51qllqll125853225252122lqlEIC2183212=EIql100333=M2-1、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。（）ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllCABP=1/lP=1/ll⑤ABP=1/lP=1/ll（）④AB杆的转角AB连线的转角AB杆和AC杆的相对转角§4-6静定结构由于温度改变而产生的位移计算1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h23）微段的变形dsdθat0ds=aΔt/hγ=0ååD±Δit=MNhttwawa0åòåòD±=dsMhtdsNtaa0åòåòD±=DitdshtMdstNaa0该公式仅适用于静定结构e=at0at1dsat2ds直观确定。取绝对值计算，正负号、升温为正；拉为正，MttNwD0()=DkkcRdsNQM222hththt/)(12210=12ttt=Ddshdsttdsd/]/)([/12==a例9-11求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa01010CP=1P=1－1aMND=DthtNMc0wawa==Dt10010ooo==t520100oo()a5a=haa315a=ah23102a§4-7静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以=0，=0，=0。代入得到：=DKKiccR仅用于静定结构abl/2l/2h110=AY1=BhX0=BY=1AhX()弧度hacR==D0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX()=DkkcRdsNQM222应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形体系。P1P2①F1F2②N1M1Q1GAkQEIMEAN2022222===GAkQEIMEAN1011111===N2M2Q2一、功的互等定理dsGAQkQEIMMEANN121212=D=FW1221=dsGAQkQEIMMEANN212121D=PW2112功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作的功W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功W21。即：W12=W21§4-8互等定理二、位移互等定理P1①P2②位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数δ21等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数δ12。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移δ21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12。2112jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。2）δ12与δ21不仅数值相等，量纲也相同。2112dd=三、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR××=221120cRR××221110称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12。或者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12。注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用于超静定结构。2112rr=Pl/2l/23Pl/16CA①θΔC②例：已知图①结构的弯矩图求同一结构②由于支座A的转动引起C点的挠度。解：W12=W21∵T21=0∴W12=PΔC－3Pl/16×θ＝0ΔC=3lθ/16例：图示同一结构的两种状态，求Δ=？P=1①②m=1m=1ABΔ=θA+θBθBθAΔ已知图a梁支座C上升0.02m引起的ΔD=0.03m/16，试绘图b的M图.PRc(b)aa/2a/2ABCDΔD0.02m(a)Wab=0=Wba=P·ΔD+RC·ΔCRC=－3P/323Pa/32小结一、虚功原理We=Wi力：满足平衡位移：变形连续虚设位移虚位移原理（求未知力）虚功方程等价于平衡条件虚力原理（求未知位移）虚功方程等价于位移条件虚设力系lEANNdsEIMMPPKKcR二、Δ=刚架、梁桁架支座移动组合结构、拱•各项含义•虚设广义单位荷载的方法三、图乘法求位移==DPEIydxEIMM0w•图乘法求位移的适用条件•y0的取法•标准图形的面积和形心位置•非标准图形乘直线形的处理方法四、互等定理•适用