02.连续体的运动-0.2解析

第2章连续体的运动刚体：刚体：形状和大小都不变的物体。实质上可以把刚体看作是质量连续分布的且任意两质量元之间距离保持不变的质点系。重点研究：刚体的定轴转动0§2.2.1刚体运动的描述刚体：形状和大小都不变的物体。实质上可以把刚体看作是质量连续分布的且任意两质量元之间距离保持不变的质点系。一、刚体的运动类型平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。注：动画动画转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。定轴转动：转轴固定不动的转动。非定轴转动：刚体的平面运动刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成质心运动定理注意各量物理意义例：将一哑铃抛出时，哑铃上每个质点的轨道都不是抛物线，但质心然作抛物线运动。可以证明，质心的运动遵循以下规律：不管物体的质量如何分布、外力作用在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此，而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。动画动画动画炮弹在飞行轨道上爆炸成碎片，质心仍在抛物线上……dtvdmFamFcicigM质心：刚体的质量分布中心。通常以质心（c）的运动来代表整个刚体的平动。c沿逆时针方向转动角位移角坐标沿顺时针方向转动0q0q角速度矢量方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.qd§2.2.2刚体绕定轴转动的运动学方程P’(t+dt)z.OωxP(t)r.qqd角加速度ddt刚体定轴转动(一维转动)的转动方向可以用角速度的正、负来表示.00zz角加速度(1)每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；(2)任一质点运动均相同，但不同；定轴转动的特点(3)运动描述仅需一个角坐标．动画1mim各质元的相同不同各质元的相同不同va角量与线量的关系eavranarωev2nararω2narerωe例1在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动后其转速随时间变化关系为：式中．求：(1)t=6s时电动机的转速．(2)起动后，电动机在t=6s时间内转过的圈数．(3)角加速度随时间变化的规律．)e1(/tm　，s0.2sr5401m(2)电动机在6s内转过的圈数为解(1)将t=6s代入1sr513950mω.ω)e1(/tmω(3)电动机转动的角加速度为//22de540πeradsdttmtr1021.23tωtωNtmd)e1(π21dπ2160/60例2在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000r·min-1．转子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内，转子转过多少转？00ω解令，即，积分ctcttddtttc00dd得221ct当t=300s时11sradπ600minr00018322srad75π300π60022tc22150π21tct221ct由2150πddttq得tttd150πd020qq在300s内转子转过的转数43103)300(450π2ππ2qNrad450π3tqPzOFrqdFdFrMqsin:力臂dFrM对转轴z的力矩F1.力矩M用来描述力对刚体的转动作用．0,0iiiiMFFF0,0iiiiMFFF*§2.2.3刚体绕定轴转动的动力学方程zOkFr讨论FFFzFrkMzqsinrFMzzFF（1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量Fq其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩zFFO（2）合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．jiijMMjririjijFjiFdijMjiMOrmz2.刚体绕定轴转动的转动定律FqFnFθrFMsinFmamrM（1）单个质点与转轴刚性连接m2Mmr2MrFmr2eijjjjMMmr（2）刚体质量元受外力，内力jFejFi外力矩内力矩OzjmjrjFejFi2eijjjjjjMMmr0jijjiijMMM刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.2e(jjjjMmr)转动定律MJ2jjjrmJ转动惯量定义OzjmjrjFejFimrJd2讨论MJ（2）ddMJJt（3）（1）不变ωM，0转动定律MJ(2)为瞬时关系．(3)转动中与平动中地位相同．maFMJ(1),与方向相同．MJM说明转动定律应用MJ竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？3.转动惯量转动惯量的单位：kg·m22jjjJmrmrJd21.定义质点系：如刚体为连续体，则为J的意义：转动惯性的量度.21iniirmJ转动惯量····ZOamamaamm●一可忽略质量的轻质平面正方形框架，边长为a，其四个顶点上分别有一个质量为m的质点，求此质点系绕垂直于正方形平面且过其中心的轴OZ的转动惯量。Z’Z”222)22(4maamJZ●若转轴平移至正方形的一个顶点2224)2(2'maammaJZ●若转轴平移至正方形的一边中点ZJ22223]})2([)2({2maaamam例如：若质量连续分布dmrJ2在（SI）中，J的单位：kgm2dldm质量为线分布dsdm质量为面分布dVdm质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。面分布刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置有关．（1）与刚体的体密度有关．（2）与刚体的几何形状及体密度的分布有关．说明lO´O解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22例1一质量为、长为的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.mlrd2l2lO´O2121ml如转轴过端点垂直于棒例2求小球m的转动惯量解：m看作质点2JmRRm例3质量为m的细圆环，求J。dmR解：把环分成无限多个质量为dm的小段，对每个dm有dJ=R2dm对整个环有J=R2dm=mR2OROR403π2dπ2RrrJRrdr例4一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环rrd2πRm而rrmdπ2d圆环质量221mRJ所以rrmrJdπ2dd32圆环对轴的转动惯量几种常见刚体的转动惯量：Lm细棒231mLJ细棒2121mLJ薄圆环或薄圆筒2mRJ圆盘或圆柱体薄球壳221mRJRm232mRJ球体252mRJmLRmRmRm2mdJJCO(1)平行轴定理质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量CJmddCOm反映转动惯量性质的定理平行轴定理的证明ABCdxmiriiri2CiiJrm对CA轴平行C轴（质心轴）对A2'AiiJrm由图'2222cosiiiirrdrd2'AiiJrm22(2cos)iiiimrdrd22cos2iiiiiimrmdmrdcosiiiiimrmx故：2AcJJmd——平行轴定理0cmx质心的定义：iicmrrm质量为m，长为L的细棒绕其一端的JP2221mRmRJP圆盘对P轴的转动惯量RmO2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJcO1d=L/2O1’O2O2’(2)垂直轴定理（正交轴定理）miixyzyixiOyxzIII(3)可叠加原理若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加.对同一轴可叠加：iiJJ*平行轴定理以m表示刚体的质量，Jc表示它通过其质心c的轴的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此刚体对于后一轴的转动惯量为：2mdJJcmL2121mLJcLm*垂直轴定理例：22)2()121(LmmLJ231mL8xyzyxzJJJc5.转动定律的应用q)()()(tttJ用求导的方法积分加初始条件例1.一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮视为圆盘），绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，m1m2，滑轮的质量为m，半径为R，所受的摩擦阻力矩为r，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳的张力。已知：m1，m2，m，R，r求：21,,TTa.1m2mmR11JdtdJdtLd动画)()()(tttqJ刚体定轴转动的两类问题：解:研究对象m1，m2，m建立坐标，受力分析如图ygm11Tgm22Tm'1T'2T0.1m2mmRr对各隔离体写出运动方程：对m1：amgmT111对m2：amTgm222对m：'22'112,,21,TTTTmRJRaJRTRTr'1'212mmmRgmmar21)(2112联立求得：mmmRgmmmTr21])212[(21211mmmRgmmmTr21])212[(21122注意：当不计滑轮的质量及摩擦阻力时：0,0rmgmmmma2112)(gmmmmTT2121212这便是中学所熟知的结果13问：如何求角加速度？根据可求得Ra§5—3刚体转动的功和能1.力矩的功rFodsrdqd合外力对刚体所作的微功：FcosFdsrdFdAqsin)(rdF（与互余）合外力矩而sinFrqddA2.定轴转动的动能定理qqq0dA由质点系：bardFAA内力外力类比：kabEmvmv222121qqq0dA合外力矩kEJJ2022121合外力矩对定轴转动的刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。A内力矩？143.刚体的机械能守恒定律刚体的势能：设地面为零势面，刚体的质心离地面的高度为hc则cPmghE若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能守恒。例2.一质量为m长为L的均匀细棒OA可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时（1）质心C和端点A的线速度（2）质心C的线加速度解法一（1）研究对象：细棒受力分析：gm（不考虑）N力矩sin2mgLFrqCgm15OA零势面CArqcos2mgLcmgh常数221J用动能定理作：qqq0dA合外力矩)(21202JqqdmgLcos22212JmgL=02)31(mLmgLJmgLLg3ccRv方向：向左OAqCgm零势面CAAARvcacRa0因竖直位置=0=0gLLgRacn2323216（2）qcos2sin2mgLmgLFr02gLL3212gLL3解法二用机械能守恒作：（刚体只有重力矩作功）mgL221J)31(2mLJ