半角公式

复习回顾:二倍角的正弦、余弦、正切公式22cos2cossin22cos1212sin22tantan21tan,,+()224kRkkZsin22sincos降幂扩角公式：22121222coscoscossin升冪缩角公式：21cos2=2sin21cos2=2cos2sin2————2cos2——————2tan2——————sin2————cos2——————tan2————思考探究1：你会α的三角函数表示下列各式吗？1cos21cos21cos21cos21cos1cos1cos1cos思考：根号前的符号怎么确定？22cos22cos112sinsin1costan21cossin求证：22sinsin1cos22tansin22sincoscos22222sincossinsin222tan1cos22coscos22思考探究2：证明1：点评：1、右到左证明2、变角、变式半角公式：1cossin221coscos221costan21cossin1costan21cossin21cossin2221coscos2221costan21cos12、左右2、左二次降到右一次32、公式本质用角的余弦表示角的三角函数应用：71cossincos2522tan2例题：已知求、的值71-325sin==225解：71425==225cossin32tan=24cos2点评：正用公式1cossin221coscos221costan21cossin1cos1cossin1232sin2,2132tan例题：已知求分析:1、α是2α的半角2、正切函数半角公式有3种形式1cossin221coscos221costan21cossin1cos1cossin练习：sin15=1、求：cos15tan151-cos3023221+cos3023221sin302231cos303121sin,2332、已知那么23-3sincos=22————1cossin221coscos221costan21cossin1cos1cossin例3：等腰三角形顶角的余弦值为513求它的底角的正弦、余弦和正切ABCαθ5,cos13解：设顶角为，底角为250,cos22131cos2313sin2131cos2213cos213sin3tancos21cossin221coscos221costan21cossin1cos1cossin小结归纳：本节课你有什么收获？22、公式本质用角的余弦表示角的三角函数1、半角公式的推导3、理解倍角和半角关系，理解倍角公式与半角公式的内在联系4、掌握三角函数恒等变形的基本手段，转化的思想。[正解]∵sinθ0，sin2θ0，∴cosθ0，∴θ为第二象限角．∴θ2为第一或第三象限角，∴tanθ20.又∵sinθ＝35及cosθ0，∴cosθ＝－45.∴tanθ2＝1－cosθ1＋cosθ＝3.一、选择题1．已知180°α360°，则cosα2的值等于()A.1＋cosα2B.1－cosα2C．－1＋cosα2D．－1－cosα2[答案]C[解析]∵180°α360°，∴90°α2180°，∴cosα2＝－1＋cosα2.2．设－3πα－5π2，则化简1－cosα－π2的结果是()A．sinα2B．cosα2C．－cosα2D．－sinα2[答案]C[解析]原式＝1＋cosα2＝cosα2，∵－3πα－5π2，∴－3π2α2－5π4，∴cosα20，∴原式＝－cosα2.3．已知2sinθ＝1＋cosθ，则cotθ2的值为()A．2B.12C.12或0D．2或0[答案]D[解析]2sinθ＝2cos2θ2，∴2cosθ22sinθ2－cosθ2＝0，∴cosθ2＝0或2sinθ2－cosθ2＝0，∴cotθ2＝0或2.二、填空题4．已知sinα2＋cosα2＝－35，且5π2α3π，则cotα4的值为________．[解析]由sinα2＋cosα2＝－35，得sinα＝45，sinα2－cosα22＝1－sinα＝1－45＝15.∵5π2α3π，∴5π4α23π2，5π8α43π4.∴sinα2cosα2.∴sinα2－cosα2＝－15.再由已知得cosα2＝－15，∴cotα4＝－1＋cosα21－cosα2＝－1－551＋55＝1－52.5．化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α得的结果是________．[解析]原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cosπ3－sin2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.三、解答题6．已知0απ，1＋cos2αcotα2－tanα2＝310，求sinα＋cosα的值．[解析]∵0απ，∴1＋cos2αcotα2－tanα2＝2cos2α1－tan2α2tanα2＝2cos2α2tanα＝cos2α·tanα＝sinα·cosα＝310，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2×310＝85，∴sinα＋cosα＝2105.