用0高次不等式及简单的分式不等式的解法

高次不等式及简单的分式不等式的解法新课引入函数f(x)的图象如图所示：x1yO48-3-7则不等式f(x)0的解集是：不等式f(x)≤0的解集是：(-7,-3)∪(1,4)∪(8,+∞)(-∞,-7]∪[-3,1]∪[4,8]去掉y轴对解题有影响吗？无影响！x轴上方为正，下方为负，即可写出解集！+++---新课引入解下列不等式：{x︱x1或x2}{x︱1x2}(1)(x-1)(x-2)0(2)(x-1)(2-x)0(3)x2-5x+6≥0(4)12+x-x2056x10x2x102x{x︱x2或x3}{x︱-3x4}{x︱x1或x2}{x︱1x2}21324-321解一元二次不等式步骤：1.将不等式化为:不等号的左边是式子，右边为0;2.将二次项系数化为正；3.求出两根；4.根据“大于取两边,小于去中间”写出解集。1.“大于取两边,小于去中间”写出解集的依据是什么？思考：2.不等式(1)和(5)，不等式(2)和(6)的解集一样，为什么？例1解不等式(x-1)(x-2)(x-3)0点评：可知，高次不等式利用商或积的符号法则转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解。这种方法叫同解转化法。212.x解（）得1)(2)01)(2)03030(1)(2){{xxxxxx（（或题型一：高次不等式的解法解：法一(同解转化法)，原不等式可化为{123}.xxx原不等式的解集为或13,x解（）得这个不等式是3次的！(x-1)(x-2)(x-3)=0的三个根分别为1,2,3,图中标”+”号的区间即为不等式(x-1)(x-2)(x-3)0的解集.总结:此法称为穿根法.在解高次不等式与分式不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.例1解不等式(x-1)(x-2)(x-3)0题型一：高次不等式的解法这个不等式是3次的！解：法二(穿根法)如图,在数轴上标出3个实根,-+-+123∴(x-1)(x-2)(x-3)0的解集为{x|1x2或x3}.零点分界法原不等式可化为(x+1)2(x+2)3(x-1)2(x-2)4(x-3)50,例2解不等式(x+1)2(x+2)3(1-x)2(2-x)4(3-x)50题型一：高次不等式的解法这个不等式是16次的！解：法一(同解转化法)∴原不等式的解集为{x|-2x-1或-1x1或1x2或2x3}.此不等式等价于0()()0,00x1x2x3x1x2,x12x3x1x2把各个因式中x的系数都化为正!它对应方程的五个根分别为-2,-1,1,2,3,图中标”-”号的区间即为原不等式的解集.总结:此法称为穿根法.在解高次不等式与分式不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.例2解不等式(x+1)2(x+2)3(1-x)2(2-x)4(3-x)50题型一：高次不等式的解法这个不等式是16次的！解：法二(穿根法)如图,在数轴上标出五个实根,零点分界法原不等式可化为(x+1)2(x+2)3(x-1)2(x-2)4(x-3)50,∴原不等式的解集为{x|-2x-1或-1x1或1x2或2x3}.-+-+123-1-2--把各个因式中x的系数都化为正!自右而左、自上而下穿根奇次根穿过，偶次根穿而不过(x+1)2(x+2)3(x-1)2(x-2)4(x-3)5=0的五个根分别为-2,-1,1,2,3,总结:此法称为穿根法.在解高次不等式与分式不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.例2解不等式(x+1)2(x+2)3(1-x)2(2-x)4(3-x)5≥0题型一：高次不等式的解法这个不等式是16次的！解：法二(穿根法)如图,在数轴上标出五个实根,零点分界法原不等式可化为(x+1)2(x+2)3(x-1)2(x-2)4(x-3)5≤0,∴原不等式的解集为{x|-2x3}.-+-+123-1-2--把各个因式中x的系数都化为正!自右而左、自上而下穿根奇次根穿过，偶次根穿而不过穿根法解高次不等式(含二次不等式)和分式不等式的步骤：1.变形：不等号右边为0，左边分解因式；2.将各因式x的系数化为正；3.找根,即令各因式为0，解出各因式的根；4.画轴、标根，把取不到的根扣掉；5.穿根，坚持两大“原则”：(1)“自右而左、自上而下”穿根；(2)“奇过偶不过”穿根.6.根据“x轴上方为正、x轴上为0、x轴下方为负”写出解集。练习解不等式(x2-1)(x2-6x+8)≥0.解：将原不等式化为(x＋1)(x－1)(x－2)(x－4)≥0.(x＋1)(x－1)(x－2)(x－4)=0的根为－1,1,2,4，由穿根法(如下图所示)得原不等式的解集为{x|x≤－1或1≤x≤2或x≥4}．421-1解不等式(x+2)4(x+1)3(2-x)(x-1)2x0.∴原不等式的解集为(－1,0)∪(2,+∞).练习解：(x+2)4(x+1)3(2-x)(x-1)2x0可化为(x+2)3(x+1)3(x-2)(x-1)2x0,利用穿根法，如图：(x+2)3(x+1)3(2-x)(x-1)2x=0的根为-2,-1,0,1,2,-2-1012题型二：简单的分式不等式的解法例：解下列不等式(1)(x-1)(x+2)0；2.x10x2解:(1)利用穿根法，如图：1-2∴原不等式的解集为{x|x-2或x1}.(2)利用穿根法，如图：1-2∴原不等式的解集为{x|x-2或x1}.注意：(x-1)(x+2)0.abx0x例2解不等式2232023xxxx(1)(2)(3)(1)0.xxxx解：原不等式可化为利用穿根法，如图：∴原不等式的解集为{x|-1≤x1或2x≤3}.题型二：简单的分式不等式的解法-1123不需要化为整式方程,直接利用穿根法求解即可！22222(32)(23)0320.23230xxxxxxxxxx与同解注意：例2解不等式2232045xxxx(1)(2)0.(1)(5)xxxx进一步化为解：原不等式可化为利用穿根法，如图：∴原不等式的解集为{x|x-5或x≥2}.题型二：简单的分式不等式的解法不需要化为整式方程,直接利用穿根法求解即可！注意：2232045xxxx，-512(2)(5)0(1)(2)050.(1)(5)10xxxxxxxx与同解分子分母上有相同的因式，不能约去，应看做偶次根！52133(1)1(2)3(3)22xxxxx例05.x∴(2)21302xx原不等式可化为，2230xxx72.x(1)(3)0xxx103xx或题型二：简单的分式不等式的解法5(1)1x解：∵，510x∴，50xx∴，50xx∴，213602xxx，702xx，702xx，320xx(3)原不等式可化为，-103∴原不等式的解集为(0,5).∴原不等式的解集为[-7,2).∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,3).含x的分母不能随便相乘去掉，而是移项通分.移项通分解不等式穿根法解分式不等式和高次不等式(含二次不等式)的步骤：1.变形：不等号右边为0，左边分解因式；2.将各因式x的系数化为正；3.找根,即令各因式为0，解出各因式的根；4.画轴、标根，把取不到的根扣掉；5.穿根，坚持两大“原则”：(1)“自右而左、自上而下”穿根；(2)“奇过偶不过”穿根.6.根据“x轴上方为正、x轴上为0、x轴下方为负”写出解集。移项通分解不等式7.特别注意：解分式不等式分三步走：前6点分式不等式和高次不等式相同！322211.(1)(712)(6)0(2)0(2)(3)(3)(1)0xxxxxxxxx0)4)(3)(2)(3()1(xxxx解：0)3)(2()1)(1()2(2xxxxx110)3(xx或4323xxx或或312xx或练习-32343-2110222322(2)(3)(2)(3)(4)0(5)011(2)(5)(2)(3)(6)0(7)04(2)(1)(5)(3)(8)0(1)(2)xxxxxxxxxxxxxxxxx3221)4(xx或解：31)5(x542)6(xx或3221)7(xx或52)8(x练习-123245-123-12312350322322xxxx：解0)3)(1()2)(1(xxxx0)3)(2)(1)(1(xxxx由穿根法可得原不等式的解集为:}3211|{xxx或2.解不等式0322322xxxx+-1123-++-oooo练习3.解不等式232532xxx解：232532xxx0232532xxx0321222xxxx0)1)(3()1)(12(xxxx所以原不等式的解集为:}12113|{xxx或0)1)(3(0)1)(3)(1)(12(xxxxxx-3-11/21-+++-oo练习2(12)()0xxxa例1(3)(4)()0xxxa解：原不等式可化为4(3,4)(,)aa①当时，解集为；43(3,)(4,)aa③当时，解集为；3(,3)(4,)aa⑤当时，解集为。4(3,4)()a②当时，解集为∪；3(4,)a④当时，解集为；题型三：含参数的高次不等式和简单的分式不等式的解法-43零点分界法3201xax例(1)(3)0axx解：原不等式可化为；时，解集为①当)3,1(0aa；时，解集为②当)3,(0aaaaa13)1(30时，当；，解集为时，③当),3()1,(3131aaa；，解集为时，④当),3()3,(0)3(312xa。，解集为时，⑤当),1()3,(13031aaa题型三：含参数的高次不等式和简单的分式不等式的解法零点分界法013转化为整式不等式求解311xax例(1)01)[(1)]01axaxaxax解：原不等式可化为，即(；，解集为时，①当)1,(0110xa；解集为，时，②当)1,11(1110aaa。解集为，时，③当),11()1,(1110aaa题型三：含参数的高次不等式和简单的分式不等式的解法零点分界法转化为整式不等式求解1.解关于x的不等式:)(02Raaxax(5)当a1时,解集为：{x|axa2}(4)当a=1时，解集为：x∈φ综上：(1)当a1或a0时,原不等式解集为：{x|axa2}}（2）当a=0或a=1时，原不等式解集为：φ（3）当0a1时,原不等式解集为:{x|a2xa}解：原不等式可化为：(x-a)(x-a2)0,练习01(1)当a0时,解集为：{x|axa2},(3)当0a1时,解集为:{x|a2xa}(2)当a=0时，解集为：φ,转化为整式不等式求解)1(12)1(axxa2.解关于x的不等式：练习答案：(1)当a1时,原不等式的解集为：}122|{aaxxx或}122|{aaxx}212|{xaax(2)当0a1时,原不等式的解集为：(3)当a=0时,原不等式的解集为：(4)当a0时,原不等式解集为：1.(0,)axxax若关于的不等式的解集为，求的范围。02x