第三节函数的连续

第三节函数的连续一、函数的连续与间断二、连续函数的基本性质三、闭区间上连续函数的性质上一页目录下一页退出例1证由定义2知上一页目录下一页退出例2解),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf上一页目录下一页退出例3证,1)2cos(xx.2sin2xy则,0,时当对任意的,sin有,2sin2xxy故.0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy(1)跳跃间断点.)(),0()0(,,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但存在右极限都处左在点如果xfxxfxfxxf例4解.0为函数的跳跃间断点xoxy上一页目录下一页退出(2)可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx例5.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy2上一页目录下一页退出解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f.0为函数的可去间断点x注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.上一页目录下一页退出如例5中,,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点.0处的左、右极限都存在函数在点xoxy112上一页目录下一页退出(3)第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例6解oxy.断点这种情况称为无穷间上一页目录下一页退出例7.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x.断点这种情况称为的振荡间注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.上一页目录下一页退出例8.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00),0()00()00(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a上一页目录下一页退出小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)上一页目录下一页退出可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x上一页目录下一页退出思考题若)(xf在0x连续，则|)(|xf、)(2xf在0x是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在0x连续，)(xf在0x是否连续？上一页目录下一页退出思考题解答且)(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf故|)(|xf、)(2xf在0x都连续.上一页目录下一页退出但反之不成立.例0,10,1)(xxxf在00x不连续但|)(|xf、)(2xf在00x连续上一页目录下一页退出一、填空题：1、指出23122xxxy在1x是第_______类间断点；在2x是第_____类间断点.2、指出)1(22xxxxy在0x是第________类间断点；在1x是第______类间断点；在1x是第_____类间断点.二、研究函数1,11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的图形.练习题上一页目录下一页退出三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续.1、1,31,1)(xxxxxf在Rx上.2、xxxftan)(,在Rx上.四、讨论函数nnnxxxf2211lim)(的连续性，若有间断点，判断其类型.五、试确定ba,的值,使)1)(()(xaxbexfx，（1）有无穷间断点0x；（2）有可去间断点1x.上一页目录下一页退出一、1、一类,二类；2、一类,一类,二类.二、,),1()1,()(内连续与在xf1x为跳跃间断点.三、1、1x为第一类间断点；2、,2为可去间断点kx)0(kkx为第二类间断点.0,12,,tan)(1xkkxxxxf),2,1,0(k,练习题答案上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1xxx10)1ln(lim原式])1(limln[10xxxeln解上一页目录下一页退出例2.1lim0xexx求)1ln(lim0yyy原式解,1yex令),1ln(yx则.0,0yx时当yyy10)1ln(1lim同理可得上一页目录下一页退出思考题上一页目录下一页退出思考题解答12sgn1)]([xxfg0,10,2xx在),(上处处连续)]([xgf在)0,(),0(上处处连续)]([xfg是它的可去间断点上一页目录下一页退出练习题上一页目录下一页退出7、函数61)(24xxxxxf的连续区间为________________.8、设时当时当1,11,2cos)(xxxxxf确定)(lim21xfx__________;)(lim1xfx___________.二、计算下列各极限：1、axaxaxsinsinlim；2、xxxcot20)tan31(lim；3、1)1232(limxxxx；上一页目录下一页退出三、设0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知)(xf在0x处连续，试确定a和b的值.四、设函数)(xf在0x处连续，且0)0(f,已知)()(xfxg，试证函数)(xg在0x处也连续.上一页目录下一页退出一、1、2；2、21；3、0；4、0；5、)11(212e；6、1；7、),2(),2,3(),3,(；8、22,0,不存在.二、1、acos；2、1；3；21e.三、eba,1.练习题答案上一页目录下一页退出例2.)(),,(.)(,)(,],[)(fbabbfaafbaxf使得证明且上连续在区间设函数证,)()(xxfxF令,],[)(上连续在则baxFaafaF)()(而,0由零点定理,使),,(ba,0)()(fF上一页目录下一页退出小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;上一页目录下一页退出思考题下述命题是否正确？上一页目录下一页退出思考题解答不正确.例函数上一页目录下一页退出一、证明方程bxaxsin，其中0,0ba，至少有一个正根，并且它不超过ba.二、若)(xf在],[ba上连续，bxxxan21则在],[1nxx上必有，使nxfxfxfxfn)(......)()()(21.三、设)(xf在],[ba上连续，bdca,试证明：对任意正数qp和；至少有一点],[dc,使)()()()(fqpxqfxpf.练习题上一页目录下一页退出