第 2 讲 (教师1份)相似三角形 (1)

数学专用资料学习就是学状态、学成功、学如何轻松掌握方法实现目标……咨询王老：135410124761第2讲相似三角形知识精讲：预备定理:平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。相似三角形常用的判定定理有以下几条:判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似。)(AA)判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似。)(SSS)判定定理4:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。(简叙为:斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。)(HL)直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似;(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.(2).直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形性质定理(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。相似三角形的传递性如果△ABC∽△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，那么△ABC∽△A₂B₂C₂.例题讲解例1、如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（）A．11B．12C．13D．14数学专用资料学习就是学状态、学成功、学如何轻松掌握方法实现目标……咨询王老：135410124762例2、如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．分析（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．解：（1）∵AB=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BD，AD2=AC•CD，∴BD2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．例3、已知，在RtABC中，90,4,2,ACBACBCD是AC边上的一个动点，将ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处.（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC.①写出,BPBD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形.数学专用资料学习就是学状态、学成功、学如何轻松掌握方法实现目标……咨询王老：135410124763（2）如图2，若BDAD，过点P作PHBC交BC的延长线于点H，求PH的长.分析：（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x=52，推出DN=2252BDBN，由△BDN∽△BAM，可得DNBDAMAB，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得AMADAEAP，由此求出AE=165，可得EC=AC﹣AE=4﹣165=45由此即可解决问题．解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，∴AB=222425，∵AD=CD=2，∴BD=222222，由翻折可知，BP=BA=25．②如图1中，（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，∴x2=（4﹣x）2+22，∴x=52，∵DB=DA，DN⊥AB，∴BN=AN=5，数学专用资料学习就是学状态、学成功、学如何轻松掌握方法实现目标……咨询王老：135410124764由△ADM∽△APE，可得AMADAEAP，∴5224AE，∴AE=165，∴EC=AC﹣AE=4﹣165=45，易证四边形PECH是矩形，∴PH=EC=45．考点训练一、选择题1.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（C）第1题2．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（D）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：9【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．解：∵OB=3OB′，数学专用资料学习就是学状态、学成功、学如何轻松掌握方法实现目标……咨询王老：135410124765∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴=．∴=，故选D位似变换，位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（）A．3B．5C．6D．8【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得△ABC的面积，根据面积的和差，可得答案．解：由DE∥BC，DB=2AD，得△ADE∽△ABC，=．由，△ADE的面积为1，得=，得S△ABC=9．SDBCE=SABC﹣S△ADE=8，故选：D．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG②HD平分∠EHG③AG⊥BE④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG⑤线段DH的最小值是2﹣2．A．2B．3C．4D．5数学专用资料学习就是学状态、学成功、学如何轻松掌握方法实现目标……咨询王老：135410124766∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，5．如图，在ABCDY中，,ACBD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知4AEFS，则下列结论：数学专用资料学习就是学状态、学成功、学如何轻松掌握方法实现目标……咨询王老：135410124767①12AFFD，②36BCES，③12ABES，④AFE∽ACD，其中正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③解：∵在▱ABCD中，AO=12AC，∵点E是OA的中点，∴AE=13CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AFAEBCCE=13，∵AD=BC，∴AF=13AD，∴AFFD=12；故①正确；二、填空题1．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为5：4．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解．解：∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．故答案为：5：4．2．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．解：∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE．3．在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=．（结果保留根号）数学专用资料学习就是学状态、学成功、学如何轻松掌握方法实现目标……咨询王老：135410124768【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．解：延长EF和BC，交于点G∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=9，∴直角三角形ABE中，BE==，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG=∠DEF∵AD∥BC∴∠G=∠DEF∴∠BEG=∠G∴BG=BE=由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC∵BG=BC+CG∴=9+2x+x解得x=∴BC=9+2（﹣3）=故答案为：4.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是ABC的“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相似，46A，则ACB的度数为．数学专用资料学习就是学状态、学成功、学如何轻松掌握方法实现目标……咨询王老：135410124769三、解答题1．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．【分析】（1）根据EH∥BC即可证明．（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题．（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．2．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：AG2=GE•GF．【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，数学专用资料学习就是学状态、学成功、学如何轻松掌握方法实现目标……咨询王老：1