第 2 讲1 (教师1份) 相似三角形 (1)

数学压轴题专用资料1第2讲相似三角形知识精讲：经典例题28．如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．分析：（1）只要证明△ABD∽△DPC，可得ADABCDPD，由此求出PD即可解决问题；（2）分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠A=90°，∴∠DCP+∠CPD=90°，∵∠CPD+∠ADB=90°，数学压轴题专用资料2∴∠ADB=∠PCD，（2）如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ=3，CE=DC=4易证四边形EMCQ是矩形，∴CM=EQ=3，∠M=90°，∴EM=2222437ECCM，∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，∴△ADC∽△DME，∴ADDGDMEM，∴477AD，∴AD=47，数学压轴题专用资料3由△DME∽△CDA，∴DMEM=CDAD，∴71=4AD，∴AD=477，综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围477≤m＜47．一、选择题13.如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(0.5DEBC==米，,,ABC三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得15CG=米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得3CG=米，小明身高1.6EF=米，则凉亭的高度AB约为()A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米【答案】A.数学压轴题专用资料4∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．故选A．20．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG②HD平分∠EHG③AG⊥BE④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG⑤线段DH的最小值是2﹣2．A．2B．3C．4D．5【答案】C数学压轴题专用资料5∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，10．如图，在ABCDY中，,ACBD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知4AEFS，则下列结论：数学压轴题专用资料6①12AFFD，②36BCES，③12ABES，④AFE∽ACD，其中正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③【答案】D解：∵在▱ABCD中，AO=12AC，∵点E是OA的中点，∴AE=13CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AFAEBCCE=13，∵AD=BC，∴AF=13AD，∴AFFD=12；故①正确；二、填空题17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则ACAE的值为．数学压轴题专用资料7∴AO=OB=52，∵12BH•AC=12AB•BC，∴BH=3412=55，在Rt△OBH中，OH=22225127=（）-（）=2510OBBH，∵EA⊥CA，∴BH∥AE，∴△OBH∽△OEA，∴ABHAEOHO，∴771012245OAOHAEBH．16.如图9，平面直角坐标系中O是原点，OABC的顶点,AC的坐标分别是8,0,3,4，点,DE把线段OB三等分，延长,CDCE分别交,OAAB于点,FG，连接FG，则下列结论：数学压轴题专用资料8①F是OA的中点；②OFD与BEG相似；③四边形DEGF的面积是203；④453OD；其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）解：如图，分别过点A、B作ANOB于点N，BMx轴于点M在OABC中，(80)(34)(114)137ACBOB，，，，，DE、是线段AB的三等分点，12ODBD,CBOFODFBDC111222OFODOFBCOABCBD，F是OA的中点，故①正确.(34)5COCOA，，OABC不是菱形.,DOFCODEBGODFCODEBG(40)17,FCFOCCFOCOF，，DFOEBG故OFD和BEG不相似.则②错误；数学压轴题专用资料9,DFFG四边形DEGH是梯形()551202121223DEGFDEFGhSOBhOBAN四边形则③正确113733ODOB,故④错误.综上：①③正确.18．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，数学压轴题专用资料10∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．三、解答题26.已知，在RtABC中，90,4,2,ACBACBCD是AC边上的一个动点，将ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处.（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC.①写出,BPBD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形.（2）如图2，若BDAD，过点P作PHBC交BC的延长线于点H，求PH的长.解：（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，数学压轴题专用资料11在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x=52，推出DN=2252BDBN，由△BDN∽△BAM，可得DNBDAMAB，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得AMADAEAP，由此求出AE=165，可得EC=AC﹣AE=4﹣165=45由此即可解决问题．试题解析：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，∴AB=222425，∵AD=CD=2，∴BD=222222，由翻折可知，BP=BA=25．②如图1中，（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．数学压轴题专用资料12设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，∴x2=（4﹣x）2+22，∴x=52，∵DB=DA，DN⊥AB，∴BN=AN=5，由△ADM∽△APE，可得AMADAEAP，∴5224AE，∴AE=165，∴EC=AC﹣AE=4﹣165=45，易证四边形PECH是矩形，∴PH=EC=45．22．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．数学压轴题专用资料13（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．23．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．（1）求证：△CDE≌△CBF；（2）当DE=12时，求CG的长；（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．数学压轴题专用资料14分析：（1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．解：（1）如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，在△CDE和△CBF中，,,13.DCBFDCBC∴△CDE≌△CBF，（2）在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△GBF∽△EAF，∴BGBFAEAF，由（1）知，△CDE≌△CBF，∴BF=DE=12，∵正方形的边长为1，∴AF=AB+BF=32，AE=AD﹣DE=12，∴，121322BG，∴BG=16，∴CG=BC﹣BG=56；（3）不能，理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，∴AD﹣AE=BC﹣CG，∴DE=BG，由（1）知，△CDE≌△ECF，∴DE=BF，CE=CF，∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，数学压轴题专用资料15∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．23．已知四边形ABCD的一组对边,ADBC的延长线相交于点E．（1）如图1，若90ABCADC，求证EDEAECEB；（2）如图2，若120ABC，3cos5ADC，5CD，12AB，CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；（3）如图3，另一组对边,ABDC的延长线相交于点F，若3coscos5ABCADC，5CD，CFEDn，直接写出AD的长（用含n的式子表示）．（3）由（1）（2）提供的思路即可求解.解：（1）∵∠ADC=90°∴∠EDC=90°∴∠ABE=∠CDE又∵∠AEB=∠CED∴ΔEAB∽ΔECD∴EBEAEDEC∴EDEAECEB数学压轴题专用资料16由（1）有：ΔECG∽ΔEAH∴