解析几何与立体几何复习的思考

高考解析几何与立体几何复习的几点思考北师大昆明附中宋祖发D1C1B1A1CDAB第一部分解析几何解析几何是初等数学与高等数学的衔接点,是中学数学的重要内容.解析几何的核心思想是“坐标思想”,即通过坐标系,使点对应到数对,直线与曲线对应于方程,从而把几何问题转化为代数问题,通过代数方程来表示和研究曲线，从而使代数和几何之间建立实质性的联系，可以说，解析几何是各种数学思想方法的综合点，是主干知识的交汇点。一、解析几何命题的特点题型相对稳定，一般考查三个小题，一个大题，文理科差异主要体现在小题上。三个小题着重考查基本概念与性质，一般会出现一个较难的题目，但入口较容易。5.以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题，其目的是加强联系、注重应用，以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力。（大综合）二、解析几何的命题趋势（从内容上来看）1.直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题为基本问题，其中要重视“对称问题”的解答方法；2.与圆的位置有关的问题，一是研究方程组，二是充分利用平面几何知识，后者是常用方法；3.求曲线的方程或轨迹问题，涉及圆锥曲线的概念和几何性质问题；4.直线与圆锥曲线的位置关系问题，如参数的取值范围、最值问题等，这是高考的重点内容之一；（学科内的小综合）LOyx三、需要突破的几个难点：（一）直线与圆的位置关系问题的倾斜角的取值范围是则直线第一象限，的交点位于与直线若直线例lyxkxyl06323:.12,6D.2,3C.2,6B.3,6A..,k,:1再求倾斜角的范围的范围解出由交点的坐标求交点方法LOyx的倾斜角的取值范围是则直线第一象限，的交点位于与直线若直线例lyxkxyl06323:.12,6D.2,3C.2,6B.3,6A..Gl,)3(0,-l,:2旋转得出结果绕点让的直线系成过点看把直线直线旋转法方法G得到由的两侧必在与点点线性规划的另用方法0)32)(3(-3k.l(0,2)(3,0).:3”做考场上才能有“小题巧小题大作”只有平时的“并概括解法特点一题多解”在高考复习中要重视“启示,,,:)(,2(-2,0),)(052.22其斜率的取值范围是有两个交点时与圆直线当过点已知直线全国例xyxll半径；距离小于：利用与圆心到直线的解法1)81,81(-D.)42,42(-C.)2,2(-B.)22,22.(AxyOABCxyOABCD)(,2(-2,0),)(052.22其斜率的取值范围是有两个交点时与圆直线当过点已知直线全国例xyxll)81,81(-D.)42,42(-C.)2,2(-B.)22,22.(A；〉利用代入圆的方程，方程的把：法解02l（数形结合法）：法解3问题。度得思考识间的内在联系，多角在复习中要注意把握知显得简捷一些，因此，何性质，过充分利用图形和平面几而解法。数转化为方程组的解的个位置关系把这种则是从代数的视角，解法；与圆的半径的大小比较直线的距离圆心到（即位置关系）转化为把直线与圆的交点个数是从几何的视角，评析：解法321OyxPAM（二）求曲线的方程，讨论其几何性质解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门学科，主要表现为在坐标系的基础上求出曲线方程，进而根据方程研究曲线性质。评析：应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感。11625)3(.11625.11625)3(B.11625xA.)(,,O(-6,0),,100,3.2222222222yXDyxCyxyPPOMAMMAyxO的轨迹方程是点则于点的垂直平分线交线段上的任意一点为圆为的坐标点的方程是已知圆如图例12y)P(x,064）的轨迹方程是（，则点，标原点，若为坐轴对称，点关于与点两点，、轴的正半轴交于轴的正半轴和的直线分别与湖北）设过点、（例PABOQPABPOyPQBAyx)0,1(1323D.)0,0(1323C.0)y0,1(xy23-3.)0,0(1233.A22222222yxyxyxyxxByxyx刃而解。表示的形式，问题即迎的坐标转译成用点及表示，将来描述，由向量的坐标分析：本题以向量语言),(1ABOQPA2yxPBP评析：向量与解析几何的结合是高考命题的新趋势。本题需要应用向量的数量积进行等价转化，这是向量背景下求动点轨迹的“直译法”，难度较小，但是，如果不能将“向量语言”准确转化为“坐标语言”，或在化简过程中不细心都会可能出现错误。“细节决定成败”。xyOAQBPOyxF1F2PMN（三）直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系是平面几何的重要问题，它可以将解析几何中的一些主要内容有机地整合在一起。9.8.C7.6.||||1)5(4)5(1169P065222222DBAPNPMyxyxNMyx）的最大值为（则上的点，和分别是圆、的右支上一点，是双曲线江西）、（例.9363|||(|)1|(|)2|(|||||,.,M,,|PN||PM|,|PN|-|PM|P,,,!,,,,:21212121PFPFPFPFPNPMFFPFNPFNMP所以点恰好是双曲线的两个焦、由于两圆的圆心求的值最大与圆的交点时所是线段点的延长线上在线段点何性质知由平面几最小最大且当且仅当最大的值使欲暂时固定点从分析图形开始另辟新境是绝对行不通的求最值若通过构建目标函数圆上的独立的动点双曲线和分别是分析最大值。就有与圆的交点，那么是线段的延长线上，点在线段只要点在双曲线上什么位置，即无论点，中却有某些不变的规律的动点，但在运动变化上独立分别是双曲线和两个圆较为新颖。整合，的定义与圆的性质有机评析：此题将双曲线||||,,21PNPMPFNPFMPNMPxyOAMB的方程。，求直线为弦的中点若两点，、于交双曲线的直线过例ABMBAyxM124)1,1(.622.M求解差法”弦的两端点坐标用“点的方程。也可设出写出直线的值，由此中点，即可求得的为弦，利用其斜率为此可设只要求出它的斜率。为方程，的直线分析：求过定点ABkABMk的值可求出中点，即组成方程组，再利用弦由直线与双曲线方程则方程为，轴，设其斜率是不垂直于：显然直线解法k).1(11xkykxABxyOAMB的方程。，求直线为弦的中点两点，若、于交双曲线的直线过例ABMBAyxM124)1,1(.622：点差法。解法201201201212)2(4)2(124,2,2)1,1(,),(32222yxAByxBAyxyxyxyxBMBAyxA的方程为符合题意，故直线所以，直线程。的坐标也满足上面的方点满足上面的方程，同理的坐标即点消去平方项，得则）的坐标为（对称，所以关于点，由于设：解法条件的直线是否存在。方程时，必须判断满足所以在求双曲线中点弦不一定存在，线，以定点为中点的弦由于双曲线不是封闭曲简捷。关系”，解题过程比较并结合“曲线与方程的对称性，法”。方法三巧妙利用第二种方法就是“点差及根与系数关系；）的二次方程，一般涉（或得到关于立方程组，常用两种方法：一是联直线方程。解这类问题的弦所在；过定点且被定点平分过定点的弦的中点问题；平行弦的中点轨迹中点问题主要有三类：评析：有关弦的yxOyxPF1F2CDBA（四）适当交汇，注重联系圆锥曲线问题是中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系多项内容的媒体，常与函数、不等式、数列、平面向量、导数等内容交叉渗透，题型新颖别致、自然流畅。这类题综合性强、解题灵活、思维抽象。因此在复习时要突出构建知识网络，从圆锥曲线整体的高度考虑问题，在解题实践中领悟蕴含的数学思想和方法。的面积的最小值）求四边形（，证明：点的坐标是）设（，垂足为两点，且、的直线交椭圆于，过两点、圆于的直线交椭过、左右焦点分别的全国）已知椭圆（例ABCDyxyxPPBDACCAFDBFFFyx2123),(1,123077202000212122评析：第一问实际上是证明点P在椭圆的内部；第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现。xyOMBAF2F1B1P的最小值|OM|2)(的轨轨迹方程M求：(1)OBOAOM，且向量B、A轴的交点分别为yx处的切线与P在点C上，C在P，动动C象限的部分为限的的椭椭圆，设椭圆在第23离心率为为焦点)3(0,F和)3(0,-一个以F在平面直角坐标.821、一，有中系例xoy评析：与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题综合性较大，解题时需要根据具体问题，灵活运用平面几何、函数、不等式、三角等知识，正确地构建圆锥曲线与其它数学知识的联系。解析几何是高考命题的重要内容。选择题、填空题属容易或中等题，解答题计算量减少，思维量增大。重点仍然是直线与圆锥曲线位置关系，热点主要体现在以下几个方面：直线与圆锥曲线的基础题、轨迹问题、参数范围问题、最值问题，是否存在型的探索问题等。从“在知识网络交汇点设计试题”这一命题思想出发，还应该注重与平面向量、函数、导数、不等式、数列等相结合的解析几何问题。二、近三年立体几何试题情况年份2006年2007年2008年卷型类别题号题号题号全国卷Ⅰ理科7，13，197，16，1911，16，18文科9，14，197，15，1911，16，18全国卷Ⅱ理科7，15，197，15，1910，12，16，19文科7，14，207，15，208，12，16，19第二部分立体几何一、考纲解读1．掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想象它们的位置关系。2．掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，理解异面直线的距离。3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理。掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理。掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念。掌握三垂线定理及逆定理。4．掌握两个平面平行的判断定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念。掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。5．了解多面体、凸多媒体的概念，了解正多面体的概念。6．了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。7．了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。8．了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。三、2008年立体几何考查的知识全国1卷11题三棱柱中求线面所成角理科16题文科16题三棱锥中求异面直线所成角三棱锥中求点到平面的距离理科18题、文科18题四棱锥中(1)证明线线垂直；(2)求二面角。但理科、文科在第2问上给出的条件不同全国2卷（云南）文科8题：理科10题：求正四棱锥的体积；正四棱锥中求异面直线所成角。12题球的有关性质和计算16题平行六面体的概念和性质，考查合情推理和类比思想，考查充要条件等知识.理科19题、文科20题正四棱柱：(1)证明线面垂直；(2)求二面角。600OSDBAC四、2008年全国2卷（云南）立体几何试题分析18．D9．C6．B3．A）则该棱锥的体积为（6032：8文1.0，所成的角为，侧棱与底面正四棱锥的侧棱长为600EOSDBAC32．D33．C32．B31．ASDAESBEABCDS：10理1.）所成的角的余弦值为（，的中点，则是相等，的侧棱长与底面边长都—已知正四棱锥ECBOAFD2．D3．C2．B1．A）圆的圆心距等于（，2弦长长两个圆．若两圆的公共球面得分别，相互垂直的两2已知球的半径为1212理2.则两截个平面：文E'A'B'D'EBDA3.理16·文16：平面内