2015年北京市各区中考数学一模27题汇总

第1页（共21页）2015年北京市各区中考数学一模27题汇总1．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．2．（2015•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）过点A（﹣1，0），B（1，1），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）的函数表达式；（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）在抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）的对称轴上是否存在点P，使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2页（共21页）3．（2015•西城区一模）已知二次函数y1=x2+bx+c的图象C1经过（﹣1，0），（0，﹣3）两点．（1）求C1对应的函数表达式；（2）将C1先向左平移1个单位，在向上平移4个单位，得到抛物线C2，将C2对应的函数表达式记为y2=x2+mx+n，求C2对应的函数表达式；（3）设y3=2x+3在（2）的条件下，如果在﹣2≤x≤a内存在某一个x的值，使得y2≤y3成立，结合函数图象直接写出a的取值范围．4．（2015•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．第3页（共21页）5．（2015•朝阳区一模）如图，将抛物线M1：y=ax2+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线y=x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是﹣3．（1）求a的值及M2的表达式；（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF．①当点C的横坐标为2时，直线y=x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；②在点C的运动过程中，若直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围（直接写出结果）．6．（2015•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a的值；（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围．第4页（共21页）7．（2015•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+2x﹣a+1与y轴交于C点，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a的值；（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围．8．（2015•通州区一模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与一次函数y1=x+bk的图象交于A（0，1）、B两点，C（1，0）为二次函数图象的顶点．（1）求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和一次函数y1=x+bk的图象；（3）把（1）中的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到新的二次函数y2=ax2+bx+c+m（a≠0，m为常数）的图象，定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1、y2中的较小值；如果y1=y2，函数f的函数值等于y1（或y2）．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围．第5页（共21页）9．（2015•怀柔区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a﹣1）x2+2x+1与x轴有交点，a为正整数．（1）求a的值．（2）将二次函数y=（a﹣1）x2+2x+1的图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位，当﹣2≤x≤1时，二次函数有最小值﹣3，求实数m的值．10．（2015•平谷区一模）已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO+∠EPO=∠α，当tanα=2时，求点P的坐标．第6页（共21页）11．（2015•房山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），顶点为C．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）过点C作CH⊥x轴于点H，若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．12．（2015•大兴区一模）已知抛物线y=x2+2x+k﹣2与x轴有两个不同的交点．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该抛物线与x轴的交点都是整数点，求k的值．（3）如果反比例函数y=的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x0，且满足1＜x0＜2，请直接写出m的取值范围．13．（2015•门头沟区一模）已知：关于x的一元二次方程﹣x2+（m+1）x+（m+2）=0（m＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=﹣x2+（m+1）x+（m+2）经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y=﹣x2+（m+1）x+（m+2）在第一象限之间的部分为图象G，如果直线y=k（x+1）+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k（x+1）+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．第7页（共21页）2015年北京市各区中考数学一模27题汇总参考答案与试题解析一．解答题（共13小题）1．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有【分析】（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得x=3，确定A（3，2），根据AB关于x=1对称，所以B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得，求出b，c的值，即可解答；（3）画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a的值，即可解答．【解答】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴．【点评】本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题．第8页（共21页）2．（2015•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）过点A（﹣1，0），B（1，1），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）的函数表达式；（2）若点D在抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）在抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）的对称轴上是否存在点P，使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（1，1）代入y=ax2+bx+1，得到方程组，求出a，b，即可解答；（2）抛物线的对称轴为直线．设点E为点A关于直线的对称点，则点E的坐标为（2，0）．连接EC交直线于点D，此时△ACD的周长最小．设直线EC的函数表达式为y=kx+m，代入E，C的坐标，求出解析式，当时，．所以点D的坐标为．（3）存在，分两种情况进行讨论：①当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点P1，得到点M的坐标为（0，﹣1），从而求出直线AM的函数表达式为y=﹣x﹣1．令，则．所以点P1的坐标为．；②当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点P2，交x轴于点N，与①同理可得Rt△CON是等腰直角三角形，得到点N的坐标为（1，0），根据CP2∥AP1，从而求出直线CP2的函数表达式为y=﹣x+1，令，则，所以点P2的坐标为．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+1（a≠0）过点A（﹣1，0），B（1，1），∴，∴，∴抛物线的函数关系式为．第9页（共21页）（2）∵，C（0，1），∴抛物线的对称轴为直线，设点E为点A关于直线的对称点，则点E的坐标为（2，0），连接EC交直线于点D，此时△ACD的周长最小，设直线EC的函数表达式为y=kx+m，代入E，C的坐标，则，解得，所以，直线EC的函数表达式为，当时，，∴点D的坐标为．（3）存在；①如图1，当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点P1，∵AO⊥OC，AC⊥AP1，∴∠AOM=∠CAM=90°，∵C（0，1），A（﹣1，0），∴OA=OC=1，∴∠CAO=45°，∴∠OAM=∠OMA=45°，∴OA=OM=1，∴点M的坐标为（0，﹣1），设直线AM对应的一次函数的表达式为y=k1x+b1，代入A，M的坐标，则：，解得：，所以，直线AM的函数表达式为y=﹣x﹣1，令，则，∴点P1的坐标为；②如图2，当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点P2，交x轴于点N，与①同理可得Rt△CON是等腰直角三角形，∴OC=ON=1，∴点N的坐标为（1，0），∵CP2⊥AC，AP1⊥AC，∴CP2∥AP1，∴直线CP2的函数表达式为y=﹣x+1，令，则，∴点P2的坐标为；综上，在对称轴上存在点P1，P2，使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形．【点评】本题考查了二次函数，解决本题（2）时，找到点A关于直线的对称点是关键，在（3）中分类讨论思想和数形结合是解题的关键．第10页（共21页）3．（2015•西城区一模）已知二次函数y1=x2+bx+c的图象C1经过（﹣1，0），（0，﹣3）两点．（1）求C1对应的函数表达式；（2）将C1先向左平移1个单位，在向上平移4个单位，得到抛物线C2，将C2对应的函数表达式记为y2=x2+mx+n，求C2对应的函数表达式；（3）设y3=2x+3在（2）的条件下，如果在﹣2≤x≤a内存在某一个x的值，使得y2≤y3成立，结合函数图象直接写出a的取值范围．【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据抛物线平移的规律：向左平移加，向上平移加，可得答案；（3）根据函数与不等式的关系，可得答案．【解答】解：（1）∵二次函数y