第2章 数学模型2-4

第2章线性系统的数学模型一、传递函数的定义)()()(sRsCsG二、实际控制系统传递函数的求法（1）列写元件或控制系统的微分方程。（2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换。（3）取输出量与输入量的拉氏变换之比。课程回顾(1)三、传递函数的性质（主要）（1）传递函数只取决于系统元件的结构和参数，与输入量的形式无关。（2）传递函数不提供有关系统物理结构的任何信息，物理上完全不同的系统，可以有相同的传递函数。（3）将微分方程的算符d/dt用复数s置换后便得到传递函数；反之亦然。第2章线性系统的数学模型四、典型环节的传递函数（1）比例环节KsRsCsG)()()(（2）惯性环节1)()()(TsKsRsCsG课程回顾(2)（3）积分环节sTsRsCsGi1)()()(（4）微分环节sTsRsCsGd)()()(（5）二阶振荡环节12)(22TssTKsG2222)(nnnsssG（6）延迟环节()sGse第2章线性系统的数学模型一、方框图的基本概念§2.4方框图及其变换1、方框图由有向线段和方框组成的表示变量之间数学关系的图形，称为方框图。2、方框图的组成（1）信号线：带箭头的有向线段，其方向表示信号的传递方向，线上标明所对应的变量。(a)（2）比较点：对两个以上的信号进行加减运算，“+”表示相加，“-”表示相减。相加减的信号应具有相同的量纲。(b)第2章线性系统的数学模型（3）方框：方框内为环节的传递函数，箭头指向方框的信号线代表输入信号；离开方框的代表其输出信号，且有：)()()(sXsGsC（4）引出点（测量点）：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全相同。二、方框图的绘制(1)根据系统或元件的微分方程，在零初始条件下进行拉氏变换。(2)根据系统拉氏变换式中的因果关系，画出其信号传递结构图单元。(3)按信号传递顺序连接各结构图单元，即得整个系统的方框图。第2章线性系统的数学模型例1：画出RC网络的动态结构图。解：（1）列写各个元件的微分方程，求其拉氏变换。Rtututii)()()(0RsUsUsIi)()()(0dttiCtu)(1)(0)(1)(0sICssU（2）画出信号传递的结构图单元第2章线性系统的数学模型（3）按照信号流向依次连接各个结构图，得到系统的结构图。第2章线性系统的数学模型dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI例2：画出双RC网络的动态结构图。解：（1）列写各个元件的微分方程求其拉氏变换。第2章线性系统的数学模型)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI各环节方框图（2）画出信号传递的结构图单元（3）按照信号流向依次连接各个结构图，得到系统的结构图。第2章线性系统的数学模型三、方框图的简化变换原则：变换前后输入量和输出量之间的数学关系不变变换方法：环节的合并、比较点或引出点的移动。1、环节的合并（1）串联环节的合并)()()()()()(21sXsGsCsRsGsX)()()()(21sRsGsGsC第2章线性系统的数学模型所以，n个环节串联后总的传递函数:)()()()()()(21sGsGsGsRsCsGnC(s)推广到n个环节串联：niisGsG1)()(即环节串联后总的传递函数等于串联的各个环节传递函数的乘积。第2章线性系统的数学模型说明：只有当前一个方框的输出量不受其后的方框的影响时，即无负载效应时，才可以将它们串联起来。例如：双RC网络就不等于两个单RC网络的串联。第2章线性系统的数学模型（2）并联环节的合并)()()(21sXsXsC)()()()()()(2211sRsGsXsRsGsX又)()()(21sGsGsG第2章线性系统的数学模型)()()()(21sCsCsCsCn)()()()()()()()()(2211sRsGsCsRsGsCsRsGsCnn)()()()()()()()()()(2121sGsGsGsRsCsCsCsRsCsGnn推广到n个环节并联：niisGsG1)()(第2章线性系统的数学模型（3）反馈环节的合并)()()(sEsGsC)()()(sBsRsE)()()(sCsHsB)()()()()(sCsHsRsGsC)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs第2章线性系统的数学模型如果反馈信号与给定信号极性相反，则称负反馈。反之，则为正反馈，若反馈环节H(s)=1称为单位反馈。)()()()()()(sBsRsEtbtrte)()()()(sHsGsEsB反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比，定义为开环传递函数:对于负反馈连接，r(t)和b(t)之差，称为偏差信号e(t),即第2章线性系统的数学模型输出信号C(s)与偏差信号E(s)之比，称为前向通道传递函数:)()()(sGsEsC输出信号C(s)与输入信号R(s)之比，称为闭环传递函数Φ(s)。)()()(sRsCsΦ1前向通道传函数闭环传函数开环传函数对于正反馈连接，则闭环传递函数为)()(1)()()()(sHsGsGsRsCsΦ第2章线性系统的数学模型2、比较点的移动（1）前移)()()()(21sXsXsGsY)()()()()()()()(2121sXsXsGsGsXsXsGsY（2）后移)()()()(21sXsXsGsY)()()()()()()()(2121sXsXsGsXsGsXsGsY除以传递函数G(S)乘以传递函数G(S)第2章线性系统的数学模型3、引出点的移动（1）前移（2）后移乘以传递函数G(S)除以传递函数G(S)第2章线性系统的数学模型4、信号比较点以及引出点的互换（1）相邻比较点的互换：不需要做传递函数（2）相邻引出点的互换：不需要做传递函数表面来看没有意义，实际应用中非常有意义。因为这是一个新的思路或新的变化。第2章线性系统的数学模型例2-7化简图(a)所示系统方框图，并求系统传递函数)()()(sRsCsG（1）比较点的前移第2章线性系统的数学模型（2）引出点的前移第2章线性系统的数学模型（3）负反馈及串联第2章线性系统的数学模型（4）并联（5）串联第2章线性系统的数学模型（6）负反馈第2章线性系统的数学模型)()(1)GG(GG)(1)(1)(1)()()()(4321243212143214322121432143221214321GGGGHGGGHGGGGGHHGGGGGGGGGHHGGGGGGsRsCsG第2章线性系统的数学模型图2-37例2-8试化简如图2-37(a)所示系统的方框图，并求闭环传递函数。图2-37(a)是一个交错反馈多路系统，采用引出点后移或前移，比较点前移等，逐步简化…引出点后移比较点前移第2章线性系统的数学模型返回)())(1))((1()()(33224312143215sHGGsHGGsHGGsGGGGGsG负反馈负反馈负反馈并联第2章线性系统的数学模型结构图简化的一般步骤：（1）首先移动某些信号的比较点和引出点——消除交叉回路；（2）然后合并串联或并联的环节；（3）最后从内环到外环逐层消去反馈回路。结构图变换的注意点：（1）引出点移动时一般不要跨越比较点(如:a→b，引出点不要移到C(s))。否则，容易引起被跨越的比较信号改变；（2）比较点移动时一般不要跨越引出点(如:b→c，比较点不要移到R(s)前端)。否则，取出信号可能丢失信号。第2章线性系统的数学模型部分习题2-6(a)比较点后移引出点后移第2章线性系统的数学模型第2章线性系统的数学模型2-7:0)()()()1211则等价结构图为令求sRsRsC13241111)()(GGGGGsRsC:0)()()()3121则等价结构图为令求sRsRsC4321321211)()(GGGGGGGsRsC第2章线性系统的数学模型343321213212321143211)(HGHGGGHHGGGHGGHGGGGGsG2-8