高二数学选修2-1曲线与方程ppt

2.1曲线和方程—2.1.1曲线和方程（1）求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分线l小结：lxy0（1）l上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上l曲线条件方程分析特例归纳定义x-y=0(x,y)满足关系：（1）、如果00(,)Mxy00(,)Mxy是圆上的点，那么一定是这个方程的解分析特例归纳定义·0xy·（2）、方程表示如图的圆图像上的点M与此方程有什么关系？222()()xaybr222()()xaybr的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。00(,)Mxy（2）、如果是方程222()()xaybrC(a,b)（3）说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=20xy2A分析特例归纳定义•给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。•那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程•这条曲线C叫做这个方程的曲线定义f(x,y)=00xy分析特例归纳定义曲线的方程、方程的曲线：C纯粹性完备性2、两者间的关系：点的坐标适合于此曲线的方程即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应分析特例归纳定义点在曲线上例1判断下列结论的正误并说明理由（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1对错错学习例题巩固定义例2：解答下列问题，并说明理由：（1）判断点A（-4，3），B，C是否在方程所表示的曲线上。（2）方程所表示的曲线经过点AB（1，1），则a=,b=.(32,4)(5,25)2225(0)xyx2225axby5(0,),3916例、证明与两坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是.xyk第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.下列各题中，表示的曲线方程是所列出的方程吗？如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？(1)曲线C为过点(1，1)，(-1，1)，（0,0）的折线，方程为(x-y)(x+y)=0;(3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集，方程为y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221图3(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方程为x+=0;y例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，那么（）A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。D在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础。课堂小结：2.1曲线和方程—2.1.2求曲线的方程13问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.如何求曲线的方程?运用现成的结论──直线方程的知识来求.解:∵7(1)23(1)ABk,∴所求直线的斜率k=12又∵线段AB的中点坐标是1317(,)22即(1,3)∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx.即x+2y-7=0法一:法二:若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法14问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,我们的目标就是要找x与y的关系式则|MA|=|MB|需要尝试、摸索先找曲线上的点满足的几何条件∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy坐标化∴22222121691449xxyyxxyy∴270xy(Ⅰ)化简⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是方程270xy的解;证明⑵设点1M的坐标11(,)xy是方程(Ⅰ)的解,即11270xy∵上面变形过程步步可逆,∴22221111(1)(1)(3)(7)xyxy11MAMB综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.11方法小结求曲线方程的基本步骤:1.建立适当的直角坐标系，并用坐标表示点；2.设出曲线上任意一点M的坐标；3.写出适合条件p的点M的集合P={M/p(M)}；4.用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=05.化方程f(x,y)=0为最简形式；6.说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。1516第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性.求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(,)xy;2.写出适合条件P的几何点集:()PMPM;3.用坐标表示条件()PM,列出方程(,)0fxy;4.化简方程(,)0fxy为最简形式;5.证明(查漏除杂).√√√√√以上过程可以概括为一句话:建设现．．．(．限．)．代化．．.课本例17例1已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方,它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.xy0(0,2)(,)xyF..MlB例2、动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于-1/2，求动点M的轨迹方程。18.B..AM解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则)1(a)(xa2yx:化简，得.21axyaxy,21kka)(x,axyk,axyk222MBMAMBMA由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨迹上。所以，方程（1）就是动点M的轨迹方程。19课堂练习:练习1.已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y)建立坐标系设点的坐标∵点M与x轴的距离为y,22(4)FMxy∴y=22(4)xy限(找几何条件)代(把条件坐标化)∴222816yxyy∴2816xy化简这就是所求的轨迹方程.20思考:(37P练习第3题)如图,已知点C的坐标是(2,2),过点C直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B,设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.活用几何性质来找关系xy0CBAM思维漂亮!(,)xy21例3、已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？221.xy(0),0xyMNQ22例3、求抛物线的顶点的轨迹方程。22(21)1()yxmxmmR