高一数学必修1(北师大版)第3章归纳总结

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修1成才之路·数学·北师大版·必修1第三章指数函数和对数函数第三章指数函数和对数函数本章归纳总结第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1知识结构方法警示探究即时巩固专题探究知识梳理第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1知识结构第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1知识梳理第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1指数函数、对数函数是重要的基本初等函数，是高中数学函数部分的主体内容，是历届高考的重点．本章是在初中学习了整数指数幂及运算性质的基础上，引入了分数指数幂的概念，然后将分数指数幂推广到实数指数幂，进而研究指数运算、指数函数的概念及图像性质；对数运算、对数函数的概念及其图像和性质．另外，函数的实际应用是新课标增添的内容．但它的研究思想方法，一直是高中数学的重点及难点之一，也是高考中常见题型．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修11．指数的有关概念与性质(1)有关概念根式：na叫根式，其中n叫根指数，a叫被开方数．n次方根：若xn＝a，则x叫a的n次方根，其中n1，n∈N＋.当n为正整数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根为一个负数；当n为正偶数时，正数的n次方根(偶第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1次方根)有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根为na，负的n次方根为－na，缩写成±na(a0)，负数的偶次方根在实数内无意义.0的正指数次幂为0.(2)有关性质①根式的基本性质：如果一个根式的被开方数是正数或者为0，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘或都除以同一个正整数，根式的值不变，即nan＝npamp(a≥0，n、p为大于1的正整数，m∈N＋)，用分数指数幂表示为amn＝ampnp.第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1②有理指数幂的运算性质，同正整数指数幂的运算性质一样有：aαaβ＝aα＋β(a0，a≠1，α、β∈Q)；(aα)β＝aαβ(a0，a≠1，α、β∈Q)；(ab)α＝aαbα(a0，a≠1，b0，b≠1，α∈Q)．③0指数幂与负有理数指数幂的底数都必须大于0才有意义．2．指数函数的概念与性质(1)指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫作指数函数．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(2)y＝ax(a0，a≠1)的图像第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(3)指数函数y＝ax(a0且a≠1)底数越大时，函数的图像在y轴右侧部分越远离x轴，这一性质可通过x＝1时的函数值大小去理解．如ab1c时，见函数图像(如图所示)第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修13．对数的概念及相关性质(1)对数的定义如果a(a0，a≠0)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(2)指数式与对数式的关系第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(3)对数的性质根据对数的定义，可以证明：loga1＝0，logaa＝1(a0，a≠1)，即1的对数为零，底的对数等于1.对数恒等式alogaN＝N(a0，a≠1，N0)．(4)常用对数和自然对数通常将以10为底的对数叫作常用对数，为了简便，N的常用对数log10N简记为lgN；在科学技术中常常使用无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数叫作自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作lnN.第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(5)对数的运算性质①loga(MN)＝logaM＋logaN(a0，a≠1，M0，N0)．②logaMN＝logaM－logaN(a0，a≠1，M0，N0)．③logaMn＝n·logaM(a0，a≠1，M0，n∈R)．④loganM＝1nlogaM(a0，a≠1，M0，n∈N＋，n1)．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(6)对数换底公式logbN＝logaNlogab(a0，a≠1，b0，b≠1，N0)．利用对数换底公式可以将不同底数的对数化为同底数的对数，将一般的对数化为自然对数或常用对数便于查表和计算．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(7)对数函数的图像及性质第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1在学习本章时，要注意运用由特殊到一般，运用对比的方法，搞清几个意义相近概念的内涵，利用数形结合的思想方法来说明比较抽象的概念及性质．在知识的发生、发展过程中提高运用知识解决问题的能力．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1数学思想方法归纳1.数形结合思想的应用函数的解析式与函数图像是函数的两种不同表现形式，因此在解决数学问题时，可以通过数与形的相互转化达到“以形助数，以数解形”的目的，数形结合的思想可以将复杂问题简单化，抽象问题直观化，此类问题通常是解的个数的判断和解的范围的确定等．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[例1]求不等式x－1log6(x＋3)的所有整数解．[解析]设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作出它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)0，x＝2时，log6(2＋3)－(2－1)0，所以1xP2.综上，原不等式的所有整数解为－2，－1,0,1.第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1方程log2(x＋4)＝3x解的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个[分析]此类方程是超越方程，只能借助函数图像解决．[答案]C第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[解析]在同一坐标系中画出函数y＝log2(x＋4)及y＝3x的图像，如图所示．由图像可知，它们的图像有两个交点，故选C.第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修12．分类讨论思想在解不等式中的应用解指数不等式与对数不等式是本章常见题型，其解法主要是“同底法”，通过等价转化，将指数、对数不等式(或方程)转化为一次或二次不等式(或方程)，若是含有参数的不等式，结合函数的单调性，一般需利用分类讨论的思想方法判断．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[例2]若－1loga231，求a的取值范围．[解析]－1loga231⇒loga1a＝－1loga231＝logaa，①当a1时，有y＝logax为增函数，1a23a.∴a32，结合a1，故a32.第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1②当0a1时，有y＝logax为减函数，1a23a.∴a23，结合0a1，故0a23.∴a的取值范围是{a|0a23或a32}．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1已知log2a＋3(1－4a)2，求a的取值范围．[解析]由题意，得2a＋311－4a2a＋32，或02a＋3101－4a2a＋32，第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1化简得a－1a2＋4a＋20，或－32a－1a14a2＋4a＋20.解得－1a－2＋2.所以a的取值范围是(－1，－2＋2)．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修13．函数与方程思想函数与方程有密切的关系，例如函数f(x)的零点对应着方程f(x)＝0的根．方程的问题可以利用它对应的函数的性质来解决，而函数的许多问题则需要方程来解决．函数的思想是从变量出发研究的整体性质，而方程则是从未知数的角度出发研究函数在某一状态下的性质．函数问题和方程问题可以相互转化．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[例3]如图，二次函数y＝－mx2＋4m的顶点坐标为(0,2)，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(1)求二次函数解析式．(2)设A点坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长p关于x的函数解析式，并求x的取值范围．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[解析](1)因为抛物线y＝－mx2＋4m的顶点坐标为(0,2)，所以4m＝2，解得m＝12.即二次函数解析式是y＝－12x2＋2.(2)因为AD＝BC＝2|x|，所以AD＋BC＝4|x|.又因为AB＝CD＝|y|＝y，第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1所以AB＋CD＝2y＝2(－12x2＋2)＝－x2＋4，所以p＝－x2＋4＋4|x|＝－x2＋4|x|＋4.由于y＝－12x2＋2，令y＝0，则－12x2＋2＝0，所以x＝±2，即抛物线y＝－12x2＋2与x轴的两个交点分别为(2,0)，(－2,0)．∴－2x0，∴p＝－x2－4x＋4(－2x0)．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝()A.2B．2C．22D．4[分析]由a1可知，函数f(x)＝logax在其定义域上为增函数．[答案]D[解析]∵a1，∴函数f(x)＝logax在其定义域上为增函数，∴loga2a－logaa＝12，∴loga2＝12，则a＝4.第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修14．转化与化归思想所谓转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段，将问题通过变换使之转化，归结为在已有的知识范围内可以解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换，转化为已解决的问题．可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无一不是在不断转化中获得解决的，即使是数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想也都是转化与化归思想的表现形式．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[例4]解方程2(4x＋4－x)－7(2x＋2－x)＋10＝0.[分析]通过换元，将方程化为关于t的二次方程并求解．[解析]令t＝2x＋2－x，则4x＋4－x＝t2－2，∴原方程可转化为2t2－7t＋6＝0，解得t1＝2或t2＝32.令2x＋2－x＝2，∴(2x)2－2·2x＋1＝0，第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1解得2x＝1，∴x＝0；令2x＋2－x＝32，∴2(2x)2－3·2x＋2＝0此方程无解．因此方程2(4x＋4－x)－7(2x＋2－x)＋10＝0的解为x＝0.第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(2012·洛阳高一检测)对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[解析]令f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，当x＝1时，f(p)＝0，不满足f(p)0，所以函数f(p)的图像是一条线段，要使f(p)0恒成立，当且仅当f(0)0，且f(4)0.解不等式组x2－4x＋30x－1×4＋x2－4x＋30，得x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．第三章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1基本题型归纳1.有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容．指数式的