搜索
成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修1成才之路·数学·人教A版·必修1第一章集合与函数概念第一章集合与函数概念成才之路·数学·人教A版·必修1第一章集合与函数概念第一章1.1集合成才之路·数学·人教A版·必修1第一章集合与函数概念第一章1.1.1集合的含义与表示第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1课前自主预习方法警示探究思路方法技巧建模应用引路课堂基础巩固课后强化作业名师辩误做答第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1课前自主预习第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1温故知新1．自然数的集合包含：零和；有理数的集合包含：整数和2．到一个定点的距离等于定长的点的集合是正整数分数．圆．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1新课引入很多数学概念都是为了表示生活中的事物和现象才被提出来的。比如：为了表示生活中物体的个数，产生了数的概念；为了表示生活中物体的形状，产生了三角形、长方体、圆柱体等概念；为了表示物体运动变化的过程，产生了函数的概念，……那么，我们生活中经常遇到的“集体”、“团体”、“团队”等概念又该用怎样的方式来表示呢？第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1自主预习1．我们在初中接触过“正数的集合”、“负数的集合”等，集合的含义又是什么呢？①解不等式2x－1＞3得x＞2，所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集．②平面几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1③自然数的集合0,1,2,3，…④高一(5)班全体同学组成一个集合．请你想一想，集合这个概念应该怎样描述？一般地，我们把所研究的对象如点、自然数、高一(5)班的同学统称为，把一些组成的总体叫做，通常用大写拉丁字母A、B、C，…表示．元素元素集合第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修12．元素与集合的关系用符号表示．通过以上所学，完成下列练习．用符号∈或∉填空．(1)设A是正整数集合，则0________A，2________A,2________A；(2)设A为所有中国的河流组成的集合，则长江________A，尼罗河________A，亚马孙河________A，黄河________A.∈、∉第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[答案](1)∉∉∈(2)∈∉∉∈[解析](1)若A是正整数构成的集合，则0和无理数2不是A中的元素.2是正整数，是A中的元素．(2)长江在中国境内，故长江∈A；尼罗河不在中国境内，故尼罗河∉A；亚马孙河也不在中国境内，故亚马孙河∉A；黄河在中国境内，故黄河∈A.第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修13．集合中元素的性质(或称三要素)：、、(1)给定的集合中的元素必须是确定的．“我国的小河流”能不能组成一个集合，你能用集合的知识解释吗？确定性互异性无序性．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1答案：“我国的小河流”不能组成一个集合．因为集合中的元素必须是确定的，而在我国的河流中到底多大才算小河流并无具体的标准．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1(2)集合中的元素必须是互不相同的，由1，－1,1,3组成的集合为；若a∈{a2,1}则a＝.(3)若构成两集合的元素是一样的，则称两集合，若集合{1,2}与集合{a,1}相等，则a＝.{1，－1,3}0相等2第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修14．常见的数集符号：自然数集：；正整数集：；整数集：；有理数集：；实数集：.通过以上所学，完成下列练习．下列关系中正确的有________①0∈N*；②－32∈Q；③π∉Q；④0∉N；⑤2∈R；⑥－3∈Z；⑦0∈Z；⑧0.9∈R.NN＋ZQR[答案]②③⑤⑥⑦⑧第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]0不属于正整数集，属于自然数集，也属于整数集，故①④错误，⑦正确；－32是分数，属于有理数集，故②正确；π是无理数，不属于有理数集，故③正确；2是无理数，属于实数集，故⑤正确；－3是负整数，属于整数集，故⑥正确；0.9是小数，属于实数集，故⑧正确．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修15．把集合中的元素一一列举出来．并用花括号括起来表示集合的方法叫做，如大于－1且小于10的偶数构成的集合可表示为“{}”列举法{0,2,4,6,8}．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1【思维拓展】(1)适用范围：有限集或元素间存在明显规律的无限集．在此需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，两者的表述无差异．但具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}就不能写成{2,1,4,3，…}了．(2)元素与元素之间用“，”分隔开．(3)x与{x}的含义不同，x表示元素，而{x}表示只含一个元素x的集合．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1通过以上所学，完成下列练习．用列举法表示下列集合：(1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集为________．(2)方程|x－1|＝3的解集为________．(3)绝对值小于3的整数的集合为________．[答案](1){－1,1，－4,2}(2){－2,4}(3){－2，－1,0,1,2}第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修16．用集合所含元素的表示集合的方法，称作描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的，再画一条竖线，在这条竖线后面写出这个集合中元素所具有的它的一般形式是{x∈A|p(x)}或{x|p(x)}．“”为代表元素，“”为元素x必须具有的共同特征，当且仅当“x”适合条件“p(x)”时，x才是该集合中的元素，此法具有抽象概括、普遍性的特点，当元素个数较多时，一般选用此法．共同特征一般符号及取值(或变化)范围共同特征．xp(x)第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1【思维拓展】(1)写清楚该集合中的代表元素．(2)集合与它的代表元素所采用的字母名称无关，只与集合中元素的共同特征有关．例如，{x∈R|x1}也可以写成{y∈R|y1}．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1(3)所有描述的内容都要写在集合符号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表述方式不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素所属范围为实数集时可以省略．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1通过以上所学，完成下列练习．试用描述法表示下列集合：(1)方程x2－3x＋2＝0的解集为________．(2)不等式3x＋20的解集为________．(3)大于1小于5的整数组成的集合为________．[答案](1){x|x2－3x＋2＝0}(2){x|3x＋20}(3){x∈Z|1x5}第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1思路方法技巧第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1命题方向1集合概念的考查[例1]下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；③2010年上海世博会的所有展馆；④2的所有近似值；⑤1,2,3,1.能够组成集合的是________．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[分析]判断各组对象的标准是否明确，进而判断能否组成集合．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以不能组成集合．对于②③⑤，其中的对象都是确定的，可以组成集合．[答案]②③⑤第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[误区警示]对于⑤的判断，易错认为其中有两个数相等，不符合集合中元素的互异性，所以不能组成集合，事实上，组成的集合为{1,2,3}．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1规律总结：1.判断一组对象能否组成集合，关键看对象的标准是否明确．如果此组对象的限定范围满足确定性，就可组成集合；否则，不能组成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1下列各组对象，能构成集合的有()①对环境污染不太大的塑料；②中国古典文学中的四大名著；③所有的正方形；④方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根．A．①B．①②C．②③④D．①②③④[答案]C第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]语句①“污染不太大”没有明确的标准；②中四大名著指的是《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》；③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1下列说法正确的是()A．小明身高1.78m，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素B．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1C．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线D．任意改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍和原来的集合相等[答案]D第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]A中的高个子标准不能确定，因而不能构成集合；B中对象能构成集合，但元素有无穷多个；C中对象构成的是两条直线，D反映的是集合元素的无序性.第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1命题方向2集合中元素特性的考查[例2](2011～2012学年青岛师大附中高一检测)若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[分析]欲判断三角形的形状，需判断三边关系或三角关系．由于已知条件涉及三边，故考虑三边之间的关系．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]由于集合中元素具有互异性，即a、b、c互不相等，因此△ABC一定不是等腰三角形．[答案]D第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1规律总结：(1)什么是元素分析法？解决集合问题的关键是能否把用集合语言描述的问题转化为数学问题，而集合离不开元素，因此分析元素是解决集合问题的核心，这种抓住元素进行分析的方法称为元素分析法．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1(2)如何应用元素分析法解决有关集合问题？①分析元素的性质，即确定性、互异性、无序性；②由元素所具有的性质转化为相关问题的性质，如本例由a、b、c互异转化为△ABC三边长互不相等．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1若x∈{1,3，x3}，则有()A．x＝0或x＝－1B．x＝－1或x＝3C．x＝0或x＝－1或x＝3D．x＝0或x＝3[答案]C第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]∵x∈{1,3，x3}∴x＝1或3或x3当x＝x3时x＝0，±1，由于x3≠1,3，∴x≠1，故x＝0，－1,3，故选C.第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1命题方向3集合相等的考查[例3]设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若集合A、B相等，求实数x、y的值．[分析]根据集合相等的概念可知x、y与0、x2分别对应相等，解方程并根据集合中元素的互异性可求得x、y的值．第一章1.11.1.1成才之路·数学·人教A版·必修1[解析]因为A、B相等，则x＝0或y＝0.(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．综上知