两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件

第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式目录2014高考导航考纲展示备考指南1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，进而导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们的内在联系.1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考中常考点.2.公式逆用、变形应用是高考热点.3.题型以选择题、解答题为主.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)cos(α＋β)＝______________________，cos(α－β)＝_______________________；(2)sin(α＋β)＝______________________，sin(α－β)＝________________________；cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ目录(3)tan(α＋β)＝____________________，tan(α－β)＝_____________________．(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k∈Z)其变形为：tanα＋tanβ＝________________________，tanα－tanβ＝_______________________________．2.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin2α＝___________________；(2)cos2α＝______________＝________－1＝1－______；(3)tan2α＝_________(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2，k∈Z)．tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβtan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α2sin2α2tanα1－tan2α目录课前热身1.(2011·高考辽宁卷)设sinπ4＋θ＝13，则sin2θ＝()A．－79B．－19C.19D.79解析：选A.sinπ4＋θ＝22(sinθ＋cosθ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin2θ)＝19，∴sin2θ＝－79.目录2.已知x∈(－π2，0)，cosx＝45，则tan2x＝()A.724B．－724C.247D．－247解析：选D.依题意得sinx＝－1－cos2x＝－35，tanx＝sinxcosx＝－34，所以tan2x＝2tanx1－tan2x＝2×（－34）1－（－34）2＝－247,故选D.目录3.若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα＝()A．－72B．－12C.12D.72解析：选C.由已知条件cos2α－sin2α22sinα－22cosα＝－22，则cosα＋sinα＝12.目录4.化简：sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝________．解析：原式＝sin(α＋β－β)＝sinα.答案：sinα5.若cosα＝12，其中α∈(－π2，0)，则sinα2的值是________．解析：sin2α2＝1－cosα2＝14.又α2∈－π4，0，∴sinα2＝－12答案：－12目录考点探究讲练互动例1考点突破考点1三角函数公式的直接应用(1)(2013·陕西宝鸡模拟)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为()A．2B.3C．1D.33目录(2)(2013·济南市调研)已知α为锐角，cosα＝55，则tan(π4＋2α)＝()A．－3B．－17C．－43D．－7目录【解析】(1)由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)．因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1，故选C.(2)依题意得，sinα＝255，故tanα＝2，tan2α＝2×21－4＝－43，所以tan(π4＋2α)＝1－431＋43＝－17.【答案】(1)C(2)B目录【规律小结】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．目录跟踪训练1.已知α∈(0，π2)，tanα＝12，求tan2α和sin(2α＋π3)的值．解：tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－（12）2＝43.∵α∈(0，π2)，2α∈(0，π)，tan2α＝43＞0，∴2α∈(0，π2)，∴sin2α＝45，cos2α＝35，∴sin(2α＋π3)＝sin2α·cosπ3＋cos2α·sinπ3＝45×12＋35×32＝4＋3310.目录考点2三角函数公式的逆用与变形应用(1)函数f(x)＝3sinx＋cosπ3＋x的最大值为()A．2B.3C．1D.12(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________．例2目录【解析】(1)f(x)＝3sinx＋cosπ3·cosx－sinπ3sinx＝12cosx＋32sinx＝sinx＋π6.∴f(x)max＝1.(2)原式＝12（4cos4x－4cos2x＋1）2×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝（2cos2x－1）24sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.目录【答案】(1)C(2)12cos2x【规律小结】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形,如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用．目录跟踪训练2.(1)若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________；(2)sin10°1tan5°－tan5°＝________．解析：(1)－1＝tan3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.目录(2)sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝sin10°·cos10°12sin10°.＝2cos10°.答案：(1)2(2)2cos10°目录例3考点3角的变换(1)已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()A.1318B.1322C.322D.16目录(2)(2011·高考浙江卷)若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝()A.33B．－33C.539D．－69目录【解析】(1)因为α＋π4＝(α＋β)－β－π4，所以tanα＋π4＝tan（α＋β）－β－π4＝tan（α＋β）－tanβ－π41＋tan（α＋β）tanβ－π4＝322.目录(2)∵0απ2，∴π4α＋π43π4.∵cosπ4＋α＝13，∴sinπ4＋α＝223.∵－π2β0，∴π4π4－β2π2.∵cosπ4－β2＝33，∴sinπ4－β2＝63.∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.【答案】(1)C(2)C目录【思维升华】(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－π4－α.目录跟踪训练3.(2013·东北三校联考)设α、β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝()A.2525B.255C.2525或255D.55或525目录解析：选A.依题意得sinα＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2（α＋β）＝±45.又α、β均为锐角，因此0＜α＜α＋β＜π，cosα＞cos(α＋β)，注意到45＞55＞－45，所以cos(α＋β)＝－45.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525，故选A.目录方法感悟1.三角函数式的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关系式、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式，将较复杂的三角函数式进行化简．化简的方法主要有异角化同角、复角化单角、异次化同次、切函数化弦函数等，化简的结果必须是最简形式．2.三角函数的求值问题要始终围绕“角”做文章，角与角的联系，特殊角的相互转换，角的分解，角的合并等，都在求值的过程中起重要的作用．例如常见的几种角的变换：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝2×α2等．目录名师讲坛精彩呈现例难题易解破解三角函数求值问题(2012·高考江苏卷)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．目录抓信息破难点(1)由cosα＋π6＝45求sinα与cosα的值时，不易求解．(2)α＋π6和2α＋π12关系不明朗，需仔细观察，即2α＋π12＝2α＋π6－π4.目录【解析】∵α为锐角且cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35.∴sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π6＝725，∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6·cosπ4－cos2α＋π6·sinπ4＝2425×22－725×22＝17250.【答案】17250目录【方法提炼】解决条件求值的问题时，要充分利用条件，其解题技巧主要体现在角的拆分变换，其中包括：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．目录跟踪训练4.已知cos(α＋π6)－sinα＝233，则sin(α－7π6)的值是()A．－233B.233C．－23D.23目录解析：选D.由cos(α＋π6)－sinα＝233，得32cosα－32sinα＝233，即－(32sinα－12cosα)＝23，即sin(α－π6)＝－23.所以sin(α－7π6)＝sin(α－π6－π)＝－sin(α－π6)＝23，故选D.目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放