2误差分析基础

2.误差分析基础主要内容检测精度误差分析的基本概念误差分类误差传递法则粗大误差2020/1/2322.误差分析基础科学实验和生产过程中对物理量或参数进行检测时，为了准确要分两步：一、选用合适的仪器与测量方法获取实验数据；二、对数据进行误差分析与数据处理。两者均重要，缺一不可。实际中常忽视后者，导致无法确定获得的数据的可靠性，会得到错误的结论或掩盖了物理现象的本质。2020/1/2332.1检测精度•仪表的精度(precision)：指用该仪表进行测量时，能够精确到的最后一位数字是哪一量级，则该仪表的精度就是哪一量级。•精度是相对而言的，被测量大小不同，则精度不同。•测量精度可以用误差来表示。测量精度越高误差越小；精度越低误差越大。•精度高的仪器其使用条件苛刻，维护费用大，实际使用时应适当选择测量精度。2020/1/2342.2误差分析的基本概念2.2.1真值、测量值与误差的关系niiMnA11在有限次测量中，测量值的平均值与真值之间的偏差为：δ=A-A0当n足够大时，平均值A可以认为最接近被测量的真值，即AAnlim0误差x，即测量值M偏离真值A0的程度，即X=M-A0如果对同一个被测量测量了n次，得到n个测得值Mi（i=1,2,…,n）。每个测得值的误差为：Xi=Mi-A0这组测量的平均值为2020/1/2352.2.2几种误差的定义残差（残余误差）：各测量值与平均值的差vi=Mi-A由平均值A的定义式可知：∑vi=0（特征）niAMin12201方差：niAMin1201标准误差：标准误差是方差的均方根值，它是表示测量值偏离真值的重要参数。（偏差小的测量精密度高）？2020/1/2362.2.3测量的准确度与精密度•精密度：用同样的方法和设备对同一未知量进行多次检测时，测量值之间差异的大小。差异小的测量称为精密测量，即精密度高，反之，精密度低。准确度(veracity)：在同样条件下，进行无数次测量时平均值与真值的偏差大小。偏差小的测量为准确测量，即准确度高。2020/1/237如图，曲线1和2是两条测量数据分布曲线。A为被测量的真值，Aa为一种测量方法测得的平均值，Ab为另一种测量方法测得的平均值曲线1表示准确却不精密（误差小，标准误差大）；曲线2表示精密却不准确（误差大，标准误差小）。只有准确度和精密度都高，才能称为精确的测量。2020/1/2382.3误差原因分析产生误差的原因很复杂，可归纳为如下五种：测量装置误差（质量问题、元器件老化等）环境误差（温度、湿度等变化和辐射等）方法误差（测量方法不正确，安装布置不当等）人员误差（读表偏差、知识和经验的不同等因素而造成的误差）测量对象变化的误差（被测对象的不稳定或者测量器件进入被测对象也能造成测量误差）2020/1/2392.4误差的分类按照误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差、粗大误差。一、系统误差(systematicerror)：1.定义：相同条件下多次测量同一量时，误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化。2.产生的原因：它是由测量工具或仪器本身或对仪器使用不当而造成的。3.消除方法：查明原因可以消除；对测量值进行修正；改善测量条件；改进测量方法等。2020/1/2310二、随机误差(randomerror)1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时，误差的大小和符号是无规律变化的误差。2.产生的原因：是由测量过程中互相独立的、微小的偶然因素引起的。3.消除：不能消除，也不能修正，值是随机的。4.特点：多次重复测量时，总体服从统计规律，故可以了解它的分布特性，并能对其大小和测量结果的可靠性作出估计，是误差理论的依据。2.4误差的分类2020/1/2311三、粗大误差(crassierror)1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时，明显偏离了结果的误差。2.产生的原因：疏忽大意或不正确的观测、测量条件的突然变化、仪器故障等。3.消除：遵循一定的规则。4.特点：通常数值比较大。测量中应避免这类误差的出现。含有粗大误差的测量值称为坏值。判断某一测量值是否为坏值，可用统计方法或遵循一些准则。2.4误差的分类2020/1/2312三种误差可以互相转化。正确的测量不会包含有粗大误差，系统误差又可以消除，因此误差分析只是随机误差的分析。三种误差的关系：2.4误差的分类2020/1/23132.5随机误差的统计处理2.5.1随机误差的概率及概率密度函数的性质1.误差函数有关的定义：概率密度函数：误差x发生的概率密度)(xfy概率元：误差x发生的概率)()(xPdxxf误差在a与b之间的概率：badxxfbxaP)()(2020/1/23142.随机误差的统计性质•对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。故f(x)为偶函数，其分布曲线对称纵轴。•单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多，绝对值小的误差概率密度大;•抵偿性：随测量次数增加，随机误差的代数和为零，即正负误差相互抵消。•有界性:在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，即绝对值很大的误差基本不发生。理论和实践证明：满足上述统计特征的随机误差在测量次数极大时必然服从正态分布。2020/1/2315随机误差的概率密度分布曲线f(x)满足：（1）对于所有误差x，f(x)＞0;（2）f(x)为偶函数；（3）x=0时，f(x)为最大值；（4）x＞0时，f(x)单调减小；（5）f(x)曲线在误差x较小时呈上凸，x较大时呈下凹；2.5.2正态分布函数及其特征点（略）2020/1/23162.5.3置信区间与置信概率•置信区间：定义为随机变量的取值范围，用正态分布的标准误差σ的倍数来表示，即±zσ，z叫置信系数。•置信概率：随机变量在置信区间±zσ内取值的概率。•置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率。2020/1/2317置信概率P置信区间22x)(xf★置信区间、置信概率和置信水平之间的关系如图所示。置信水平越高，置信概率越小，误差范围越小，测量的精度要求越高，测量的可靠性越低。实际测量中，置信概率95%可靠性就可以了。2020/1/23182.6误差传递法则2.6.1误差传递法则当间接检测量Y与相互独立的直接检测量X1,X2,…有如下的函数关系：21222y并且X1,X2,…的标准方差分别为，，…时，如何求Y的标准方差？求解过程由简单到一般分成了三种情况：21+XXY2221+Y1、简易情况：2020/1/23192、任意线性结合的情况：KXaXaXaYnn++++22112222222121nnYaaa++3、一般情况：假设Y与n个独立测量的量有函数关系。该式被称为误差传递法则。注意：尽管在间接检测函数中有差的结合方式，但求标准误差的公式中方差均为和的形式。2020/1/2320nnnnnnnAnA+++所以：222222222122111例1：一组测量值的算术平均值为，测量值之间相互独立，测量的标准误差同为时，求其平均值的标准误差。nMMMAn/)(21+++例题1解：根据误差传递公式：根据上式可知平均值的标准误差为。这意味着多次测量时，取其平均值作为测量结果时，误差相对变小，可提高测量精度倍。nn2020/1/2321例2：用弓高弦长法间接测量圆的大直径D，如图。已知s和d，利用公式计算出D。求直径的标准误差σD。S=500mm,σs=0.05mm，d=50mm,σd=0.1mm，ddsD+42例题2Dsd55025002dssD解：241504500142222++dsdDmmdDsDdsD41.21.02405.0522222222++2020/1/23222.6.2不等精度测量的加权及其误差（1）权重的大小：权重的大小是相对的，一般用方差的倒数的比值表示。若m组测量数据各自的方差分别为则22221,...,,m22221211::1:1:::mmpppmmnnnppp::::::2121若各种检测方法精度相同，但测量次数不同，可得：权重——权重衡量测量结果可靠程度。（2）加权平均2020/1/2323解：4:9:3691:41:111:1:1::232221321ppp取p1=36,p2=9,p3=435.149364392361++++05.13494249914936222222232222212'++++i3i2i1ppppppX例：已知3,3;2,2;1,1332211XXX求加权平均值和加权标准偏差。例题2020/1/23242.8粗大误差检验检验原则：设置一定的置信概率，看这个可疑值的误差是否还在置信区间内，若不在，则应剔除。X)1(nviXv4v•简单检验方法：将可疑值之外的其它值求平均值及平均残差，计算可疑值与的残差，如果，则此可疑值应该剔除。2020/1/2325{}标准偏差。值和除，求剔除前后的平均是否应该剔除。若要剔，试判断可疑值，，，，，，例：有一组测量数据2010209733267.561097332+++++X解：3667.51067.5967.5767.5367.5367.521+++++nvi12433.1467.52020Xv487.312nvi此时故此可疑值应该剔除。281.629.72nvXi，剔除前：高。可见，剔除后的精度要例题2020/1/2326☎作业：P23：2-2、2-3一个温度测量范围为-100~400℃，0.5级精度的温度计，其允许的绝对误差和基本误差各是多少？2020/1/23272-2间接检测量Z由彼此独立的、无相关的两个检测量X1、X2决定，。σ1、σ2、σz分别为XI、X2和Z的标准误差。求用和来表示的关系式。11/X22/X/zZ12/ZXX