[研究生入学考试]高数上册课件第一章 课件

参考资料：1、高等数学典型题精解——解题思路、方法、技巧同济大学数学教研室陈兰祥主编2、高等数学第六版同步习题解答中国矿业大学出版社第一章函数与极限§1-1映射与函数一.集合(一)集合概念1.概念：把具有某种特定性质的事物的全体称之为集合(简称集),把组成集合的事物称为该集合的元素(简称元)2、集合的表示法：(1)字母表示法①集合通常用大写拉丁字母表示,而用小写字母表示集合的元素,如果的元素,记作如果不是集合A的元素,记作,,,ABC,,,abcaA是集合aAaaAaA或②在表示数集的字母的右上角标上,表示在数集A内去掉元素0后，由其它元素组成的集合，标上“+”来表示该数集内排除0与负数的集。A“”如（2）集合表示法①列举法：把集合里的全体元素一一列举出来写在花括号内,每个元素仅写一次,不考虑顺序.②描述法：若集合M是由具有某种性质的全体所组成的，就可以表示成px的元素Mxxp具有性质（3）几种特殊的数集表示法①自然数集N②整数集Z③有理数集Q④实数集R3、集合中元素的特性（1）确定性（2）唯一性（3）无序性4、相关定义（1）有限集无限集（2）子集、真子集、空集、集合的相等①子集：设是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作或,ABABBA②集合相等：如果集合A与集合B互为子集,即且,则称集合A与集合B相等,记作。③真子集：若且,则称的真子集,记作ABBAABABABAB是AB④空集：不含任何元素的集合称为空集，记作空集是任何集合A的子集。(二)集合的运算1、基本运算(1)并集(简称并)：设A,B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集,记作即(2)交集(简称交)：ABABxxAxB或ABxxAxB且(3)差集(简称差)：①②余集或补集有时,我们所研究某个问题限定在一个大的集合中进行,所研究的其它集合A都是的子集,此时,我们称集合为全集,或基本集称为A的余集或补集,记作\ABxxAxB且IIII\ACA2、集合运算的运算律(1)交换律：(2)结合律：ABBAABBAABCABCABCABC(3)分配率：(4)对偶律：ABCACBCABCACBCCCCABABCCCABAB3、直积(或笛卡儿乘积)设是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素,在集合B中任意取一个元素,组成一个有序对把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记作即AB、xy,xyAB(,)ABxyxAyB且(三)区间和邻域1、三种符号的意义三种符号都表示某个变量取值的一种变化趋势表示某个变量取正值而且越变越大;表示某个变量取负值,而且绝对值越变越大.表示某个变量即可取正值也可取负值,但绝对值越变越大.，，1232、区间(1)有限区间①开区间②闭区间③半开区间,|abxaxb,|abxaxb[,)|abxaxb,]|abxaxb((2)无限区间①②③④⑤[,)|axxa,)|axxa(,]|bxxb(,)|bxxb(,)((3)区间长度及区间的数轴表示在三种有限区间中，称为有限区间的区间长度，无限区间的区间长度为正无穷大。ba3、邻域(1)定义：以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记作aaUa(2)点的邻域设是任一正数,则开区间称为点的邻域,记作即点称为这个邻域的中心,称为这个邻域的半径。,)aa(aUa，,Uaxaxaxxaaa(3)点的去心邻域点邻域去掉中心后，称为点的去心邻域，记作即a的0U,a0U,0axxaaaa(4)点邻域,点邻域把开区间称为点邻域,把开区间称为点邻域。a的左a的右,aaa的左,aaa的右二、映射(一)映射概念1、定义(1)定义：设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则，使得对X中每个元素,按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应,则称为从X到Y的映射，记作fxfyf:fXY其中称为元素(在映射下)的像,并记作：即,而元素称为元素(在映射下)的一个原像,集合X称为映射的定义域,记作,即,X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作。yxffxyfxxyfffDfDXffRfX或(2)掌握定义注意的问题①构成一个映射必须具备以下三个要素,集合X,即定义域,集合Y,即值域的范围,对应法则,使对每个有唯一确定的与之对应。fDX,fRYfxXyfx②对每个,是唯一的,而对每个元素的原像不一定是唯一的,映射的值域的一个子集,即,不一定xXxy的像fyRyffRY是fRYfRY2、满射、单射、双射(1)满射：设是从集合X到集合Y的映射，若即Y中每一个元素都是X中某元素的像,则称上的映射或满射。f,fRYyfXY为到(2)单射：设是从集合的映射,若对X中任意两个不同元素,它们的像则称的单射。fXY到集合12xx12fxfxfX为到Y(3)双射(一一映射)：若映射即是单射,又是满射,则称为一一映射（或双射）。ff(二)逆映射与复合映射1、逆映射（1）定义：设的单射,则由定义,对每个有唯一的,于是,我们可定义一个从的新的映射,即对每个,规定这这个映射的逆映射,记作其定义域fX是从到YfyRfxyfRX到g:fgRXfyRgyxxfxy满足gf称为1f11,=fffRXD=R值域。,xX适合(2)注意：只有单射才存在逆映射2、复合映射(1)定义：设有两个映射其中则由映射可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射构成的复合映射，记作12:,:gXYfYZ12YYgf和.xXfgxZ映成gf和:oofgfgXZ即ofgxfgxxX=(2)注意：①映射构成复合映射的条件是：必须包含在的定义域内,即,否则,不能构成复合映射。②映射的复合是有顺序的,有意义,不一定有意义,即便有意义,也未必相同。gf和ggR的值域fDgRfgf和foggoffoggof与三、函数（一）函数的概念1、定义：设数集,则称映射为定义在上的函数，通常简记为其中称为自变量，称为因变量，D称为定义域，记作,函数定义中，对每个按对应法则，总有唯一确定的值与之对应，这个值称为处的函数值。DR:fDRD,,yfxxDxyffDDD即,xDyfx在记作，函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，记作,fxyfx即fxffDfD或fRfDyyfxxD即2、确定函数的两大要素：①定义域②对应法则如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同.那么这两个函数是相同的;否则就是不同的.fDf3、函数定义域的求法(1)对有实际背景的函数，应根据变量的实际意义确定函数的定义域。(2)对抽象地用算式表达的函数，函数的定义域是使算式有意义的一切实数组成的集合例1．已知求并写出它的定义域。210xfxefxxx且x例２．设的定义域为，则的定义域为（）。(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)1fx0,0aafx1,1a1,1a1,aa,1aa例３．设的定义域为,求的定义域。fx1,10fxafxaa4、单值函数，多值函数(1)单值函数：在函数的定义域中,对每个对应的函数值总是唯一的,这样定义的函数为单值函数。,xDy(2)多值函数：①定义：如果给定一个对应法则,按这个法则对应每个,总有确定的值与之对应,但这个不是唯一的,习惯上,我们称这种法则确定了一个多值函数。②多值函数的单值分支对于多值函数,往往只需要附加一些条件就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.xDyy5、几种特殊的函数(1)绝对值函数定义域值域0000xxyxxxx,D[0,)fR(2)符号函数它的定义域值域10sgn0010xyxxx,D1,0,1fR(3)取整函数设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作把函数称为取整函数,它的图像为阶梯曲线。xxxxyx（4）分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。分段函数表示的是一个函数，而不是几个函数。(二)函数的几种特性1、函数的有界性(1)定义：设函数的定义域为D,数集,如果存在数,使得,对任一都成立,则称函数在X上有上界,而称为函数在X上的一个上界。fxXD1k1fxkxXfx1kfx如果存在数,使得,对任一都成立,则称函数在X上有下界,而称为函数在X上的一个下界。如果存在正数M,使得,对任一都成立,则称函数在X上有界,如果这样的M不存在,就称在X上无界。2fxk2kxXfx2kfxfxMxXfxfx例４．证明函数，在区间上无界。211sinfxxx(0,1](2)注意①若上有上界,有下界,有界,界不是唯一的.②函数的有界性是对于数集而言的,不能离开数集去谈论函数的有界性.③函数上有界的充分必要条件是它在X上既有上界,又有下界。fxX在fxX在（二）函数的单调性设函数的定义域为D，区间,如果对于区间上任意两点恒有，则称函数在区间上是单调增加的，如果对于区间上任意两点恒有，fxIDI1212,xxxx及当时，12fxfxfxII1212,xxxx及当时，12fxfx则称函数在区间上是单调减少的，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。fxI（三）函数的奇偶性1、定义：设函数的定义域D关于原点对称，如果对于任意恒成立，则称为偶函数。如果对于任意恒成立，则称为奇函数。fx,xDfxfxfx,xDfxfxfx例５．证明：定义在对称区间上的任意函数可表示为一奇函数与一偶函数之和。,llfx(四)函数的周期性1、定义：设函数的定义域为D,如果存在一个正数,使得对于任一恒成立,则称为周期函数,的周期,通常我们所说的周期函数的周期是指最小正周期.fxlxDxlDfxlfx有且fxlfx称为例6．证明：函数是周期为1的周期函数。fxxx例7．设对任何，存在,使,证明是周期函数。,x0cfxcfxfx2、注意：①若的周期,则的周期。②并非每个周期函数都有最小正周期11fxnlfxnllfxnlfx=lfx是nlfx也是例8．狄利克雷函数证明任何一个正有理数都是它的周期。10CxQDxxQ（三）反函数与复合函数1、反函数（1）定义：设函数是单射,则它存在逆映射,则称此映射的反函数,而把原来的函数叫做直接函数.:fDfD1:ffDD1ff为函数yfx(2)注意①反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域。例9．设求。211424xxxfxxxx1fx②与表示同一函数。③若是定义在D上的单调函数,反函数也是定义在上的单调函数。④直接函数和它的反函数的图像关于直线对称。xyyDyxxDf1ffDyfx1yfxyx2、复合函数（1）定义：设函数的定义域为函数的定义域为且其值域则由下式确定的函数称为由函数构成的复合函数，它的