保险精算课件 第1章利息理论

第1章利息理论★利息基本理论★年金★债务偿还★债券利息是掌握和使用他人资金所付的代价，或者说是转让货币使用权得到的报偿。在西方经济学中，利息是货币资本投资的收益。本章主要内容2.1.1累积函数1.总额函数本金：最初的投资额累积额：本金经过一定时间后形成金额利息：累积额与本金之差2.1利息基本理论)()0()(tIAtA)(tI)(tA)0(A)0()()(AtAtI2.累积函数：单位本金经过t年的累积额)0()()(AtAta1)0(a)()0()(taAtA)(ta10t如果单位时间为1年，则1年内1单位本金的利息就是实际年利率3.利息率：单位本金在单位时间内所滋生的利息.表示第n个基本计息时间单位的实际利率in)1()1()(nAnAnAin1)1()0()0()1(1aAAAi2.1.2单利和复利•单利：只在本金上计算利息•复利：利上生利的计息方式)1)(0()(21iiinAnA)1()1)(1)(0()(21iiinAnA)1)(0()(itAtA常数利率时tiAtA)1)(0()(常数利率时tita)1()(此时累积函数为解：显然，A(0)=1000,A(1)=1050,A(2)=1100因此，例1.某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元，问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？50)1()2()2(,50)0()1()1(AAIAAI%762.4105050)1()2(%5100050)0()1(21AIAIii例2.某人存入银行5000元，年利率6%，试分别以单利和复利计算5年后的积累值。解：按单利计算，A(5)=5000×(1+5×6%)=5000×1.3=6500(元)按复利计算，A(5)=5000×(1+6%)5=6691.13(元)例3.王亮1994年1月1日从银行借款10000元，假设年利率为6%，试分别以单利和复利计算（1）1994年5月20日他需还银行多少钱？（2）1996年1月1日他需还银行多少钱？（3）多少年后他需还15000元？●我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。显然，a-1(t)是在t期末支付1单位的现值，在t期末支付k单位的现值为k·a-1(t)。2.1.3现值和贴现率1.现值●积累函数a(t)有时也称作t期积累因子;称a-1(t)为折现函数或t期折现因子。特别地，把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。●在复利方式下，当年利率不变时通常记tita)1(1)(1iav11)1(1ti)1(本金积累值现值1)(1ta)(ta101t-1ti)1(1i11i1货币时间-t2.贴现额如果把应在将来某时期支付的金额提前到现在支付，则在支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额称为贴现额。利息是在本金基础上的增加额，贴现是在累积额基础上的减少额。3.贴现率单位货币在单位时间内的贴现额。以dn表示第n年贴现率，第1年的贴现率简化表示为d,有)()1()()()1()(nanananAnAnAdniiaaAAAd1)1(1)1()1()0()1()1(idi可解释为：在年末应付的利息是年初可付利息的累积值。vid111表明1-d在利率i下经过1年累积为1ti)1(101t-1ti)1(1i11i1货币时间-ttd)1(1101t-1td)1(d1d11货币时间-tvi11iid1ivd以贴现率d投资1赚得的、在期初支付的利息是d,也可以说d是i在一期前的现值。例：已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元，而与本金等价的贴现额为300元，求本金。1.名义利率：所谓名义利率，是指每个度量期支付利息一次，而每个度量期的实际利率为。设与名义利率等价的实际利率为，则有：2.1.4名义利率和名义贴现率mmmii)1(1)(1)1()(mmmii)(mi1m1m()mimi01)(]1[mmmi时间点：利息：余额：1)(mimm1m2mm11mm1mim)(1]1[)()(mimimm2)(]1[mimmmmi]1[)(1)()(]1[mmmmimi2.名义贴现率：一个度量期内结算多次利息的贴现率称为名义贴现率。以表示每个度量期以实际贴现率计息的名义贴现率，设与之等价的实际贴现率为，则有：()mdmmmdd)1(1)(mmmdd)1(1)(1m()mdmd0时间点：贴现：余额：1)(mdmm1mm11mm1]1[)()(mdmdmmmdm)(1mm22)(]1[mdm1)(]1[mmmdmmmd]1[)(1)()(]1[mmmmdmdmmmii)1(1)(mmmdd)1(1)(id111mmmimimd/11)()()1(]1[1()1/[1(1)]mmdmi或miidmmm/1)()()()()(111mmimd例1：（1）求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率，以及每年计息4次的年名义利率；（2）求相当于每月结算一次的年利率为12%的半年结算一次的贴现率。例2：求1万元按每年计息4次的年名义利率6%投资三年的积累值。例3：每年计息2次的年名义利率为10%，在6年后支付5万元，求其现值。利息力又称息力，是衡量确切时点上利率水平的指标。记为，则2.1.5利息力t)()()()()()]()([lim''0tatatAtAttAtAttAtt时，tita)1()()1ln(it或ie1'00()ddln()()ttsasssatas上式两边从0到t积分得0d()tssate例：如果，确定投资1000元在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。0.01,02ttt2.1.6利息问题求解一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量：1.原始投资的本金2.投资时期的长度3.利率4.本金在投资期末的积累值如果已知其中的任何三个，就可以建立一个价值等式，由此等式确定第四个量。利息问题求解举例例1：某人借款50000元，每半年结算一次利息，年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。01234567500003000020000x50000＝30000×1.03-4＋20000×1.03-10＋1.03-14x50000×1.0314＝30000×1.0310＋20000×1.034＋x价值等式或例2：某人在1995年1月1日存入银行8000元，两年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元，如果利率为5%，计算2004年1月1日他帐户上的余额。价值等式1995199720012004800012000x8000×1.059＋6000×1.057＝12000×1.053＋x…6000↑例3：某人为了能在第7年末得到一笔10000元的款项，愿意在第1年末付出1000元，在第3年末付出4000元，并在第8年末付出一笔钱，如果年利率为6%，问他在第8年末应付多少元？答案为3743.5元例4：某人在1995年1月1日在其银行帐户上存款2000元，1998年1月1日存款3000元，如果之后没有存取款项，2000年1月1日的帐户余额为6000元，计算实际利率。1995199820002000300060002000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2＝6000价值等式f(i)＝2000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2－6000可利用中点插值法求解补充作业：1、设，请把按从大到小的次序排列。2、已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年、第2年、第3年的利率分别为10%、8%、6%，求该笔投资的原始金额。3、基金X中的投资以利息强度基金Y中的投资以年实际利率i积累。现分别投资1元，则基金X和基金Y在第20年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。()(),,,,mmiidd1m0.010.1,tt2.2年金所谓年金就是一系列按照相等时间间隔支付的款项。年金在经济生活中有很广泛的应用，如零存整取的银行存款、购物的分期付款及保险领域中的养老金给付、分期交付保费等。2.2.1等额支付的n期年金1.期末付n期年金的现值和终值ivvvvannn12iiiiviasnnnnnn1)1()1(1)1(012…n-1n1111inains…金额时期2.期初付n期年金的现值和终值dvvvvvvannnn111112diidviasnnnnnn1)1()1(1)1(012…n-1n1111inains…3.期初、期末付n期年金的现值和终值间的关系)1(iaann)1(issnn…012n-1n1111nans…n+1nansnnnias)1(nnnias)1(例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。20200000xa012…1920万元xxx200.0520000016048.5211.05x解得20x例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投资3000元，投资20年的现值及积累值。如果投资在每年年初进行，那么投资20年的现值及积累值又分别是多少？问：符号的含义是什么？1,na1ns11nnias11(1)(1)nnnnnnniavisiais11nndas例：某人希望通过等额的年度存款在10年后攒够10万元，在年度实质利率8%的情况下，问每年末需存入多少钱才能达到其要求。若存款改为每年年初进行，其他条件不变，计算每年需存入的款项。例：某人在银行存入10000元，计划分4年等额支取完，每年末支取一次，银行的年度实质利率为7%。计算该人每次可支取的金额。例：某人从银行贷款10000元，期限为10年，年实质利率为6%，比较下面三种还款方式支付利息金额的多少。（1）贷款本金及利息积累值在第10年末一次性还清；（2）每年末支付贷款利息，第10年末归还本金；（3）利用基本年金方式，每年末支付相同的金额，到第10年末正好还清贷款。例：某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，他每年捐款支付3000元，到2005年1月1日为止从未间断。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价值。（1）1970年1月1日；（4）2005年1月1日；（2）1980年1月1日；（5）2008年1月1日；（3）2000年1月1日；4.每年收付m次，每次1/m元的期初付n年年金的现值和终值)(/1/)1()1(/2/1)(11111111mnmnmmnmmmndvvvmvmvmvmma01…n-1n1/m1/m1/m…1/m……1/m1/m(nm-1)/m1/m)()()(1)1()1(mnnmnmndiias5.每年收付m次，每次1/m元的期末付n年年金的现值和终值01…n-1n1/m1/m…1/m……1/m1/m(nm-1)/m1/m()()()(1)(1)1mmnnnnmsaiii1/m()()1/1/()()1()()111(1)()(1)1nmmmmmnnmnmnmvaavvdivmimvi例：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第2个月开始每月等额还款，求每月需要的还款数额。例：某人计划每年末存入银行10000元，一共10年，第一次存款计划在第1