10.线性系统的多项式矩阵描述

05级研究生《线性系统理论》教案第10章线性系统的多项式矩阵描述10.1多项式矩阵描述前已讲过，多项式矩阵描述（PMD）P(s)(s)=Q(s)u(s)y(s)=R(s)(s)+W(s)u(s)它是系统的内部描述，是最一般的描述。不可简约PMD{P(s)，Q(s)}左互质，且{P(s)，R(s)}右互质不可简约PMD不唯一{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约U(s),V(s)为单模矩阵04级研究生《线性系统理论》教案由可简约PMD求不可简约PMD（1）{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld,设为H(s),非奇则.)(),(,)()()()()()()()()()()()()(),()()()()()(),()()()()()()(1右互质故不可简约得两边左乘左互质sRsPsRsPranksRsPranksusWssRsysusQssPsHsusQssPsQsPsQsHsQsPsHsP04级研究生《线性系统理论》教案(2)P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质P(s),R(s)有非单模的gcrd,设为F(s),必非奇.)(),(,)()()()()()()(~)()()()()(~)(),()()(~)()()()()()()()()()()()(),()()()()()()(左互质故不可简约则设原描述可写成右互质sQsPsQsPranksQsPranksusWssRsysusQssPssFssusWssFsRsysusQssFsPsRsPsFsRsRsFsPsP04级研究生《线性系统理论》教案（3）前两种情况的组合P(s),Q(s)非左互质，消去其gcldH(s),得即为不可简约即做代换的和再消去)}(),(~),(~),(~{)(),()()(~)()()(~),()()()(~)()()(~)()()()()()()(~)()()()()()(~,)()()()()()()()()()()()()()()(11111111111sWsRsQsPsWsFsRsRsQsHsQsFsPsHsPsusWssFsRsysusQsHssFsPsHssFssFgcrdsRsPsHsusWssRsysusQsHssPsH04级研究生《线性系统理论》教案10.2PMD的状态空间实现一.定义给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空间描述{A,B,C,E(p)}，使实现不唯一，有维数最小的一类实现，称为最小实现。最小实现能控且能观，不同的最小实现间代数等价。二.算法：以构造观测器形实现为最简便已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)},求实现.)}(,,,{)()()()()()(11的实现为给定则称PMDpECBAsEBAsICsWsQsPsR04级研究生《线性系统理论》教案思路：前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行（列）既约，严格真；在P(s)(s)=Q(s)u(s)中，先求的实现。步骤：先把化成满足左MFD求实现的条件，即P(s)化为行既约，严格真；)()()()(1susQsPs)()(1sQsP)()(1sQsPrr)(])()()([)()()()()]()([)]()([)()()()(11)(1)(1susQsPsYsusQsPsusQsMsPsMsusQsPsproperstrictlyrrrrsQsPrr04级研究生《线性系统理论》教案对求观测器形实现（利用上节方法），得必有总之)()(1sQsPrr},,,{oooCBA)()()()()()]()()([)(),()()()(1111susYsuBAsICsusYsQsPsobservableCAsQsPBAsICooorroorrooo)()()()()()]()()()([)()()()]()()([)()()()()()()()(111))((susEsuBAsICsusWsYsRBsXsuBAsICsusWsYsRsuBAsICsRsusWssRsyoooooooooCAsIsXooo04级研究生《线性系统理论》教案实现为三.最小实现当且仅当PMD为不可简约时，其维数为n=degdetP(s)的任何实现均为最小实现。)}(,,,{pECBAooo04级研究生《线性系统理论》教案10.3PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性互质性与能控性、能观性的等价性1.给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为n=degdetP(s)=dimA的一个实现为{A,B,C,E(p)}，则{P(s),Q(s)}左互质{A，B}能控{P(s),R(s)}右互质{A，C}能观2.对右MFD，能控类实现：{A，B，C，E}，dimA=degdetD(s)则：{D(s),N(s)}右互质{A,C}能观（已经能控）对左MFD，能观类实现：)()()()()(11sEIsDsNsDsN)()()()()(11sEsNsIDsNsDLLL能控右互质则},{)}(),({),(detdegdim},,,,{BAsNsDsDAECBALLL04级研究生《线性系统理论》教案3.对{A,B,C,E(p)},{A，B}能控{sI-A，B}左互质{A，C}能观{sI-A，C}右互质此即为PBH秩判据的结论。4.SISO系统{A，b，c}，则{系统完全能控且能观}g(s)无零极点相消{系统完全能控}adj(sI-A)b和(s)无零极对消现象{系统完全能观}cadj(sI-A)和(s)无零极对消现象)()()(1sEBAsICsG)()()det()()()(1ssNAsIbAsIadjcbAsIcsg04级研究生《线性系统理论》教案10.4系统的零极点一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。同一系统，其PMD为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，系统极点是detP(s)=0的根状态空间描述为{A,B,C,E}系统极点是det(sI-A)=0的根以上二者是等同的。系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函数矩阵时可能发生零极对消。对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统的解耦零点。04级研究生《线性系统理论》教案1.输入解耦零点(inputdecouplingzero)若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}中，P(s)、Q(s)存在非单模的gcldH(s)，即可见，H(s)中的gcldH(s)在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。定义：detH(s)=0的根为输入解耦零点。意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。由于所以，输入零点又等于使[P(s)Q(s)]行降秩的s值。)()()()()()]()([)]()()[()(),()()(),()()(11sWsQsPsRsWsQsHsPsHsRsGsQsHsQsPsHsP则CsmsQsPranksQsPsHsQsP,)]()([)]()()[()]()([04级研究生《线性系统理论》教案2.输出解耦零点(outputdecouplingzero)若P(s)和R(s)存在非单模的gcrdF(s)意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分状态不完全反映到系统输出中去。.)()(,.0)(det:.)(,)()()()()()()]()()][()([)()()()()()()(11值降秩的所有使输出解耦零点又等同于同前的根为输出解耦零点定义被消去了可见则ssRsPsFsFsWsQsPsRsWsQsFsPsFsRsGsFsRsRsFsPsP04级研究生《线性系统理论》教案3.输入输出解耦零点若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s),(不一定gcld)同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s)即显然，L(s)的零点都是解耦点，并且既是i.d.z.,又是o.d.z.这样的L(s)的零点称为输入输出解耦零点，i.o.d.z)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(1211111211sWsQsPsRsWsQsPsRsGsLsRsRsLsPsPsQsLsQsPsLsP则04级研究生《线性系统理论》教案注：求传递函数矩阵时，应消去P(s)与Q(s)的左公因子和P(s)和R(s)的右公因子，使传递函数矩阵的零极点不包含解耦零点。若记P和Z为传递矩阵的极点、零点，则系统的极点Ps和零点Zs分别为zdoizdozdiZZzdoizdozdiPPss..............传递矩阵的零极点O.d.zI.o.d.zI.d.z输入输出04级研究生《线性系统理论》教案以系统矩阵表示的零极点同时使系统矩阵行降秩和列降秩的s值。若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约，即为最小阶系统，它不存在解耦零点。此时系统的零极点与传递矩阵的零极点完全一致。值使其列降秩的值使其行降秩的szdoszdisWsRsQsP..:..)()()()(04级研究生《线性系统理论》教案考试复习要求第5章及以后的内容课堂讲述的内容为准