折射率椭球

光在晶体中的传播规律除了利用上述解析方法进行严格的讨论外，还可以利用一些几何图形描述。5.2.2光在晶体中传播的几何法描述(Geometricdescriptionoftransmissionoflightincrystals)2223122221231xxxnnn110e220e330e222DxDxDx几何图形能使我们直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系，以及与各传播方向相应的光速或折射率的空间取值分布。5.2.2光在晶体中传播的几何法描述5.2.2光在晶体中传播的几何法描述x1x2x3n1n2n3几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是上面所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。5.2.2光在晶体中传播的几何法描述人们引入了折射率椭球、折射率曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面等六种三维曲面.折射率椭球折射率曲面菲涅耳椭球射线曲面222312e012311(67)22DDDΕD1.折射率椭球1)折射率椭球方程由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度为0iiiDEe12ΕD1)折射率椭球方程故有2223120e1232(68)DDD222312e01231(67)2DDD在给定能量密度e的情况下，该方程为D(D1、D2、D3)空间的椭球面。1)折射率椭球方程若令3121230e0e0e,222DDDxxx，则有2223121231(69)xxx2223120e1232(68)DDD1)折射率椭球方程或2223122221231(70)xxxnnn它就是在主轴坐标系中的折射率椭球方程。对于任一特定的晶体，折射率椭球由其光学性质(主介电常数或主折射率)唯一地确定。x1x2x3n1n2n32)折射率椭球的性质若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量k，再过坐标原点作一平面(k)与k垂直。x3x1k2)折射率椭球的性质(k)与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记作ra(k)和rb(k)，则可以证明折射率椭球具有下面两个重要的性质：x3x1k2)折射率椭球的性质x3x1k①与波法线方向k相应的两个特许线偏振光的折射率n和n，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长，即()()(71)()()abnkrknkrk2)折射率椭球的性质②与波法线方向k相应的两个特许线偏振光D的振动方向d和d，分别平行于ra和rb，即()()()(72)()()()aabbrkdkrkrkdkrk这里，d是D矢量方向上的单位矢量。2)折射率椭球的性质只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就可以作出相应的折射率椭球。x3x1k从而就可以通过上述的几何作图法定出与波法线矢量k相应的两个特许线偏振光的折射率和D的振动方向。2223121231(69)xxx现在证明上述结论:由空间解析几何理论，与波法线k垂直的中心截面(k)上的椭圆，应满足下面两个方程：x3x1k2223121231(74)xxx1122330(73)xkxkxk由于椭圆的长半轴和短半轴是椭圆矢量的两个极值,所以，可以通过对满足(73)式、(74)式的r2＝x12＋x22+x32求极值来确定ra(k)和rb(k)。2223121231(74)xxx1122330(73)xkxkxk2222123rxxx根据拉格朗日待定系数法，引入两个乘数2l和2，构成一个函数:22222231212311122332123++2()()(75)xxxFxxxxkxkxk2223121231(74)xxx1122330(73)xkxkxk2222123rxxx求解ra(k)和rb(k)的问题就变成了对F求极值的问题。而F取极值的必要条件是它对x1、x2、x3的一阶导数为零，即2101,2,3(76)iiiixxki22222231212311122332123++2()()(75)xxxFxxxxkxkxk0iFx将(76)式的三个式子分别乘以x1、x2、x3，然后相加，利用(73)式和(74)式关系，得22+0(77)r2101,2,3(76)iiiixxki2223121231(74)xxx1122330(73)xkxkxk2222123rxxx22+0(77)r211111222122233133000xxkxxkxxk222111111222221222222331333000xxkxxxkxxxkx2222222321221111212231331230xxxxkxxkxxkx11223322223121222123132()()0kxkxxxkxxxxx再将(76)式的三个式子分别乘以k1、k2、k3，然后相加，并再次利用(73)式关系，得到331122121230(78)xkxkxk2221231kkk2101,2,3(76)iiiixxki1122330(73)xkxkxk331122121230(78)xkxkxk211111222122233133000xxkxxkxxk221111111222222122223333133000xkxkkxkxkkxkxkk2222332112221111221233131230xkxkxkxkkxkkxkk222331122121232112231233()()0xkxxkxkxkxkkkkk将(77)式、(78)式得出的1和2关系代入(76)式，可得22331122123101,2,3(79)iiixkrxkxkxkri22+=0(77)r331122121230(78)xkxkxk2101,2,3(76)iiiixxki22331122123101,2,3(79)iiixkrxkxkxkri22+=0(77)r331122212130(78)xkxkxk1201,2,3(76)iiiixxki3311221232201,2,3(76)iiiixkxxkxkxki2331122123201,2,3(76)iiiixkxkxxxkrki这三个方程就是与k垂直的椭圆截线矢径r为极值时所满足的条件,也就是椭圆两个主轴方向的矢径ra和rb所满足的条件。2233112212310=1,2,3(79)iiixkrxkxkxkri22+=0(77)r331122121230(78)xkxkxk将(79)式与(38)式进行比较可见，二式的差别只是符号不同。20()1,2,3(38)iiiDnEkkEi22331122123101,2,3(79)iiixkrxkxkxkri1,2,3iiDxniD如果我们进行如下的代换：并注意到Di/0i＝Ei，则(79)式可以写成20()1,2,3(80)iiiDrEkkEi22331122123101,2,3(79)iiixkrxkxkxkri123312;;DDDnxnnDDxxD2231211131212310krkkkrxxxx2233112211112310DkrDkDkDkr111222333/;/;/oooDEDEDE223311221111123DkrDkDkDDkr2210101112233DrEkrEkEkEk21011()DrEkkE这组关系式就是晶体中与k相应的两个特许线偏振光的D矢量和折射率所遵从的关系(38)式。20()1,2,3(80)iiiDrEkkEi20()1,2,3(38)iiiDnEkkEi考虑到x1:x2:x3＝D1:D2:D3和r＝n，r的方向就是满足(80)式的D方向，r的长度就是满足(80)式的n。1,2,3iiDxniD2222123rxxx通过中心与k垂直的椭圆截面两个主轴矢径ra和rb的方向，就是波法线矢量为k的两个特许编振光D矢量的振动方向，两个半轴长ra和rb就是分别与这两个线偏振光相应的折射率。1,2,3iiDxniD/ioiiDE22331122123101,2,3(79)iiixkrxkxkxkri20()1,2,3(80)iiiDnEkkEi椭球的三个半轴长分别等于三个主介电系数的平方根，其方向分别与介电主轴方向一致。2223122221231(70)xxxnnn2223121231(69)xxxx1x2x3n1n2n3通过椭球中心的每一个矢径方向，代表D的一个振动方向，其长度为D在此方向振动的光波折射率,故矢径可表示为r＝nd。所以，折射率椭球有时也称为(d，n)曲面。x3x1k3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法利用折射率椭球除了确定相应于k的两个特许线偏振光D矢量的振动方向和折射率外，还可以借助于下述几何方法，确定D、E、k、s各矢量的方向。x3x1k3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法D、E、k、s矢量都与H矢量垂直，因而同处于一个平面内，这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆。x3x1kDODEB法线T切平面R3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法如果相应于波法线方向k的一个电位移矢量D确定了，与该D平行的矢径端点为B，则椭球在B点的法线方向平行于与该D矢量相应的E矢量方向。ODEB法线T切平面R曲面f(x1，x2，x3)＝C上某点处的法线方向平行于函数f在该点处的梯度矢量f。由(69)式，折射率椭球方程可写成222312123123(,,)1xxxfxxx所以，2()1,2,3iiiixffix现证明如下：2223121231(69)xxx若将xi＝Din/D和i＝Di/0Ei代入，上式变为02()=iinEfD因而123123():():()::fffEEE2()iiiixffx0iiiiiDnxDDE这说明，与折射率椭球上某点所确定的D矢量相应的E矢量方向，平行于椭球在该点处的法线方向。3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法123123():():()::fffEEEODEB法线T切平面R几何方法：先过B点作椭圆的切线BT，再由O点向BT作垂线OR,则OR的方向即是B点的法线方向,也就是与D相应的E的方向。3)利用折射率椭球确定D、E、k、s方向的几何方法ODEB法线T切平面R另外，过O点作BT的平行线OQ，则OQ的方向就是s