分析方法 第十八章 隐函数定理及其应用

隐函数定理及其应用第十八章隐函数概念一如出的是用一个解析表达式给以前我们学习的函数都,.1sin6532xyeyxzxy,sin3223xexxxy除此之外因变量要方法这是给出函数的一种重为显函数我们称这种形式的函数,,.,称为隐函数用这种方式确定的函数定可以通过一个方程来确与自变量的函数关系还0),(,),(,,yxFYXyxFRYRX若对于方程上的二元函数为定义在设之与则成立使存在唯一一个使得对于yxyxFJyIxYJXI,0),(,,,,,,0),(,的隐函数值域含于上确定的定义在它是由方程系间的对应关系为函数关JIyxF则有恒等式表示为若将该函数关系形象的,,),(JyIxxfy.,0))(,(IxxfxF),(),1()1,(01xfyyxy上的隐函数能确定一个定义在例如方程.11,xy为来该函数能从方程中解出又能确定上的非负隐函数能确定一个定义在又如方程,1]1,1[1222xyyx§1一个方程所确定的隐函数并且由此来他俩都能从方程中解出上的非正隐函数一个定义在,,1]1,1[2xy的取值范对于此种情况必须指出确定一个以上隐函数例看到一个方程还可以yx,,出以下两点：另外对于隐函数还需指围才有意义.就不能确例如方程能确定隐函数并不是任何一个方程都)0(0,)122ccyx使得上的函数集即不存在定义在任何数定任何隐函数),(,xfI.,0)(22Ixcxfx以上例子一样从方程该隐函数也不一定能像函数一个方程即使能确定隐,)2即存在函上的隐函数确定一个定义在例如方程中解出来),(),(0sin21,xfyxy于是显函数但此函数却不能表示为使得数,),,(,0)(sin21)(),(xxfxxfxf.件方程能确定隐函数的条于是我们需要研究一个数从方程中解出不能够寄希望于把隐函可微性如连续性研究隐函数的性质,,,.,需通过方程本身来研究来隐函数存在定理二满足以下条件若函数隐函数存在定理定理),()(1.18yxFz);,(),,(),()1000yxFyxFDyxPyx上存在连续的偏导数为内点的区域在以点,0),()3;0),()20000yxFyxFy数的隐函数确定唯一一个有连续导内方程的某邻域则在点0),()(),(0000yxFPUyxP.),(),()(),(yxFyxFxfxfyyx且.到更多元的函数上去以上隐函数定理可推广满足以下条件若函数定理),,,,(2.1821yxxxFzn;,,,,),,,,()12110002010yxxxnnFFFFRDyxxxPn上存在连续的偏导数为内点的区域在以点;0),,,()200201yxxF.0),,,,()3000201yxxxFny确定唯一一个有连续偏内方程的某邻域则在点0),,,()(),(210000yxxxFDPUyxPn使得导数的隐函数),,,(21nxxxfy.,,,2121yxnyxyxFFxyFFxyFFxyn.0sin21),(1yxyyxF给定方程例并且在平面上连续由于,cos211,1yFFyx,021cos211)0,0(,0)0,0()0,0(yFFy),(0),(xfyyxF导数的隐函数确定了唯一一个有连续方程于是在原点的某邻域内.cos22cos2111)(yyFFxfyx且.)(03233的一阶与二阶导数所确定的隐函数讨论笛卡尔叶形线例xfyaxyyx,),(数的邻域都具有连续的导函数在任何点解yx的邻域的点在使得),(0)(3),(2yxaxyyxFy:,),(二阶导数如下一函数方程确定了唯一一个隐xfyxoy0ayxABa32a34得求导的函数对看作在方程中将,xxy0333322yaxayyyx32333)()3(2)2axyaxyyxxyaxxyay022yaxayyyx即)1(0)()(22yaxyayx或)2()0(222axyaxyxayy得求导式再对,)1(x0)()2(22yaxyyayyyax)3(2)(22)(22xyyyayaxy式解得式代入将)3()2(.)(2,0332333axyxyayaxyyx由于.)2,4(,)4,2()2(3333有一条垂直切线在点有一条水平切线式知曲线在点由aaBaaA.的附近确定两个隐函数点并且方程分别在原点与B二元隐函数在原点的附近所确定的讨论方程例0),,(3323zyxxyzzyxF续并在原点的附近存在连满足函数解,0)0,0,0(),,(323FzyxxyzzyxF.13,3,22233xyzFyxzFxyzFzyx了唯一一个有连续偏在原点的附近方程确定由隐函数存在定理并且,,01)0,0,0(zF且导数的二元隐函数),,(yxfz,3121322323xyzxyzxyzxyzFFxzzx.313133223223xyzyxzxyzyxzFFyzzy.的偏导数.的偏导数并且导数的某邻域内存在连续的在点设函数反函数存在定理例),()()(40xfxxfy存在连续的邻域内函数由于在点考虑方程),(),(,0)(),(),(0000yxFyxxfyyxFxfy)(),(,1),(,0),(0000000xfyxFyxFyxFxy并且的偏导数),(),(,1,xfyxFFxy0)(),(),(0)(,000xfyyxFyxUxf的邻域内方程的点在使得由隐函数存在定理且导数的隐函数确定了唯一一个有连续)(ygx.)(1)(1)(xfxfFFygxy.则这就是反函数的求导法§2隐函数组隐函数组概念一所确本节讨论由一个方程组个方程所确定的隐函数上一节是讨论的是由一,定的隐函数组RIRDRVvuyxGvuyxF和若上的两个四元函数为定义在和设,,),,,(),,,(240),,,(0),,,(vuyxGvuyxF使方程组存在唯一一对使得对于及,,,),(,JvIuDyxRJ),,(),,(,,yxgvyxfuD分别表示为上的一组隐函数在则该方程组确定了定义成立.),(,0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(DyxyxgyxfyxGyxgyxfyxF既有恒等式组个方程的方程组元的对于与上同理mnm,0),,,,,(0),,,,,,,(0),,,,,,(21212121221211mnmmnmnyyyxxxFyyyxxxFyyyxxxF,,,,,21RIRIRIRVmn及若存在唯一一组使得对于,),,,(21Vxxxn则该方程使方程成立,),,,2,1(miIyii分别表示为上的一组隐函数组确定了定义在,V),,,,(2111nxxxfy),,,,(2122nxxxfy).,,,(21nmmxxxfy.),,(21Vxxxn隐函数组定理二方程组上可微都在和设函数,),,,(),,,(4RVvuyxGvuyxF0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF分别看在方程组中将上可微都在所确定的两个隐函数vuDyxgvyxfu,,),,(),,(得求偏导关于的函数作,,,,yxyx00xvxuxxvxuxvGuGGvFuFF.00yvyuyyvyuyvGuGGvFuFF.,,,,0yyxxvuvuvuvuGGFF出则可从偏导方程组中解若中其作用与定理或雅可比行列式称为函数行列式记作将行列式1,,,),(),(vuGFGGFFvuvu.的作用相当yF满足以下条件与若函数隐函数组定理定理),,,(),,,()(3.18vuyxGvuyxF内具有一阶连续偏导；为内点的区域在以400000),,,()1RVvuyxP；称为初始条件)(0),,,(,0),,,()200000000vuyxGvuyxF.0),(),()30PvuGFJ),(0),,,(0),,,()(00000yxQvuyxGvuyxFVPUP确定了定义在内方程组的某邻域则在点,),(),()(0yxgvyxfuQU数的隐函数组内的唯一具有连续偏导的某邻域).(),(,0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(0QUyxyxgyxfyxGyxgyxfyxF即使得,),(),(1,),(),(1xuGFJxvvxGFJxu并且有.),(),(1,),(),(1yuGFJyvvyGFJyu例如为零在某点的函数行列式不能确定关于其它两变量若函数组,),,,(),,,(vuyxGvuyxF的上确定定义在点的某邻域则以上方程组能在点),()(,0),(),(000000vuQPUPyxGFP.,),(),()(0出其它结论由定理类比给上的隐函数组某邻域vuyvuxQU01),,,(0),,,(1222xyvuvuyxGyxvuvuyxF讨论方程组例.,)2,1,1,2(0并求其偏导数函数的邻域能确定怎样的隐在点P各偏导数为即函数组满足初始条件首先解,,0)(,0)(00PGPF,2,2,1,2vFuFFxFvuyx,1,1,vuyxGGGyG.,,,,0),(),(0其它的都可确定的隐函数是否为于是只是难以判断经验证只有uyvxvxGFP,,,,,,,的函数看作将方程组中的的偏导数关于例如求若求隐函数的偏导数yxvuyxvu得求偏导方程组分别关于,,yx(1)00222yvuxvvuuxxxx(2)00122xvuvvuuyyyy,1122122),1(vuyvxvuyvxux得解方程组.1122122vuxyuvuyxuvx,)(2211122121),2(vuxvvuxvuy得解方程组.)(2121122112vuxuvuxuvy反函数组与坐标变换三本节讨论二元函数组应数存在的充分条件相对与上一节一元函数反函,.条件的反函数组存在的充分,,),(),,(2上的二元函数组平面的点集是定义在设RDyxyxvvyxuu.),(,),(2RvuQuvDyxP平面上的唯一一点对应则对表示为记作或变换的一个映射到由上述对应关系又可称为,),(2TRD).,(),(,:2vuQyxPRDT,),(),(,),(,的象下为在映射并称或表示为点函数的形式yxPTvuQDPPTQ).(,PTDQP记象的集合为的原象称为而使得存在唯一的则对于每一个的一一映射到为由若,,,DPDQDDT即表示为的逆映射的新映射是到这个由,,),(1TTDDPTQ).,(),(,:1yxPvuQDDT.),(,1DQQTP或表示为点函数的形式存在函数组上述的逆映射也就是说:使得以下恒等式成立,),(),,(),,(Dvuvuyyvuxx.),(,),(),,(,),(),,(Dvuvuyvuxvvvuyvuxuu,),(),,(),,(Dvuvuyyvuxx我们又称函数组.,),(),,(),,(的反函数组是函数组Dyxyxvvyxuu考虑方程组的充分条件为了讨论反函数组存在,.0),(),,,(,0),(),,,(yxvvvuyxGyxuuvu