第8章_有限元法的进一步基础-广义变分原理2

第8章有限单元法的进一步基础——广义变分原理约束变分原理将场函数应事先满足的附加约束条件引入泛函的两种方法（Langrange乘子法和罚函数法），及它们的实质和各自特点。本章要点应用约束变分原理从弹性力学最小位能原理或最小余能原理出发导出各类广义变分原理的方法。应用约束变分原理将场函数应事先满足的单元交界面上的连续条件引入泛函建立不同形态修正变分原理的方法。第8章有限单元法的进一步基础——广义变分原理约束变分原理拉格郎日乘子法泛函取驻值，并且未知函数u还需服从附加的约束0Cu在中Ω修正泛函**TdλCu是未知函数u必须服从附加的约束时的泛函是域中一组独立坐标的函数向量，称为拉格郎日乘子泛函附加的约束驻值问题泛函*无附加的约束驻值问题约束变分原理拉格郎日乘子法泛函取驻值，并且未知函数u还需服从附加的约束0Cu在中Ω修正泛函**TdλCu是未知函数u必须服从附加的约束时的泛函是域中一组独立坐标的函数向量，称为拉格郎日乘子泛函附加的约束驻值问题泛函*无附加的约束驻值问题约束变分原理拉格郎日乘子法的驻值条件**0TTddλCuλCu试函数构造它们的近似解拉格郎日乘子法构造的修正泛函包括未知量u和iiuNaNaiiλNbNb*0***aa0ccbb由方程可解的二组参数a和b约束变分原理拉格郎日乘子法泛函的欧拉方程0Au*0TTddλCuλCu附加的约束是线性微分方程组110CCuLu*1110TTTTTTdddaNAubNLuCaLNλ约束变分原理拉格郎日乘子法变分a和b任意10TTddNLNλAu110TdNLuCKaP00abcTabKKaPKcRKbQ1TCdQN1TTabdKNLN其中cK对称，但主对角线存在零元素。约束变分原理罚函数法**TdCuCu利用罚函数将约束附加条件以乘积的形式引入泛函称为罚数。在实际计算中，取为较大的有限值。的值的选择是一个不易掌握的问题。弹性力学广义变分原理总位能是相互独立的场函数的泛函iiju和场函数不要求事先满足几何方程和位移边界条件胡海昌-鹫津久原理（H-W变分原理）附加条件iiuuuS在上,,12ijijjiuu拉格郎日乘子法,,1,2uHWpiijijijijjiViiiSuuudVpuudS分别是V域内和Su边界上的拉格郎日乘子，它们是独立坐标xi的任意函数。ijip和弹性力学广义变分原理修正泛函的变分胡海昌-鹫津久原理（H-W变分原理）,,,,12012uHWijijklkliiijijijjiVijijiiiiiiiSSijjiDufuudVuTdSpuuuupudS,ijijijjiSVundSudV,,,12ijijjiijijijVVuudVudV，设对称,,ijiijjijVuudV弹性力学广义变分原理修正泛函的变分胡海昌-鹫津久原理（H-W变分原理）,,,120uHWijijklklijiijjiVijijijjiiijjiSiiijjiiiSDufuudVunTdSupnpuudS相互独立,,,ijiijiup的驻值条件HW在V上0ijklklijD,0ijjif,,102ijijjiuu在V上在V上0ijjinT0iijjpn0iiuu在S上在S上在Su上弹性力学广义变分原理胡海昌-鹫津久原理（H-W变分原理）ijijklklijDiijjijjipnnT和的力学意义分别是应力和边界力（取负值）ipiTijij代入修正泛函HW,,11,,22uHWiijijijklijkliiijijijjiViiijjiiSSuDufuudVuTdSnuudSHW是相互独立的场函数,,iijijup几何方程位移边界条件如果认为泛函中，弹性力学广义变分原理Hellinger-Reissner变分原理（H-R变分原理）1122ijklijklijijijklijklijDCVijijklklCHW,,1,2uHRiijijijjiijiViiijjiiSSuuuVufdVuTdSnuudS是相互独立的场函数,iiju场函数不是互相独立ijij和服从物理方程弹性力学广义变分原理最小余能原理,,,12uHRiijijiViiijjiiSSijijjiuuVufdVuTdSndSuuu,,,,,12ijijjiijijijiijjijVVVuudVudVuudV,uijijijjiSSVundSudV,,uHRiijijijjiiViijjiijjiSSuVfudVTnudSnudS平衡方程力边界条件ucijijijjiVSVdVnudS最小余能原理弹性力学修正变分原理修正的位能原理最小位能原理中位移函数的导数的最高次数等于1位移有限元在单元交界面上的位移连续交界面上的位移连续不满足修正的位能原理求解域VN个单元12,,,NVVV任意二个单元abVV和交界面abSaVbV*abS交界面,,aaaijijiu应力，应变，位移*baS交界面,,bbbijijiu应力，应变，位移单元交界面上的位移连续要求abiiabuuS在上弹性力学修正变分原理修正的位能原理交界面上的位移连续不满足修正泛函11mppabH12eepijklijkliiiiVSeDufdVuTdS是引入的修正项1abH1abababiiiSHuudS是拉格朗日乘子，它是在上定义的独立场应变。abSi弹性力学修正变分原理修正的位能原理修正泛函变分112eeabmpiiiiVijklijkSeabiiiSlufdVuTdSudDuS,,1122eeeijklijklijijklklijjiijklklVVVDdVDdVuuDdV,eijijklklVuDdV,,eiijklkliijklkljjVuDuDdV,eeiijklkljiijklkljSVuDndSuDdV是单元的边界，包括交界面上的边界eVabSeS弹性力学修正变分原理修正的位能原理1mp在交界面上的表达式abS**1abbaabaaabbbmpijiiijiiSSabiiiSTuudSTuudSuudS上的驻值条件abS*,aaijiabTuS在上*,bbijibaTuS在上abiiuu,,12aaaaaaaijijjjijklklaaaajijklkllkTunDnDuun,,12bbbbbbijjijklkllkTuDuunabjjnn1mp中保持拉格郎日乘子为在交界面上定义的独立场变量还可以定义修正位能原理的其它形式23,mpmp弹性力学修正变分原理修正的余能原理12ucijijklijkliiVSCdVTudS0abiiTT有限元分析时，在单元交界面上应力满足平衡的要求。,aaabbbiijjiijjTnTnabjjnn其中且有选择应力的试函数时，由拉格朗日乘子将此附加条件引入泛函。mccabG是拉格朗日乘子，在交界面上定义为独立的场变量，可通过泛函变分识别它的物理意义是交界面上的位移。iabababiiiSGTTdS其中