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第八章机械优化设计实例•前面几章系统地介绍了机械优化设计的理论和方法。本章将首先针对机械优化设计实践中需要注意的问题介绍一些可供使用的方法;接着通过对机床主轴结构优化设计、齿轮减速器优化设计、平面连杆机构优化设计等工程实例的分析，来说明在解决一个工程实际问题时，建立优化设计数学模型，选择适当的优化方法，编制计算机程序，最终得出符合要求的优化设计结果等问题。第一节应用技巧•一、机械优化设计的一般过程•机械优化设计的全过程一般可分为如下几个步骤:•1)建立优化设计的数学模型。•2)选择适当的优化方法。•3)编写计算机程序。•4)准备必要的初始数据并上机计算。•5)对计算机求得的结果进行必要的分析。•其中建立优化设计数学模型是首要的和关键的一步，它是取得正确结果的前提，下面将专门讨论这个问题。•优化方法的选择取决于数学模型的特点，例如优化问题规模的大小，目标函数和约束函数的性态以及计算精度等。在比较各种可供选用的优化方法时，需要考虑的一个重要因素是计算机执行这些程序所花费的时间和费用，也即计算效率。•正确地选择优化方法，至今还没有一定的原则。通常认为，对于目标函数和约束函数均为显函数且设计变量个数不太多的回题，惩罚函数法较好;对于只含线性约束的非线性规划问题，最适宜采用梯度投影法，对函数易于求导的问题，以可利用导数信息的方法为好，例如可行方向法;对求导非常困难的问题则应选用直接解法，例如复合形法;对于高度非线性的函数，则应选用计算稳定性较好的方法，例如BFGS变尺度法和内点惩罚函数法相结合的方法。•编写计算机程序对于使用者来说，已经没有多少工作要做了，因为已有许多成熟的优化方法程序可供选择。使用者只需要将数学模型按要求编写成子程序嵌入已有的优化程序即可。•步骤4)和5)对机械设计工作者来说，通常不存在原则上的困难，这一点将结合实例来说明。二、建立数学模型的基本原则•建立数学模型的基本原则是优化设计中的一个重要组成部分。优化结果是否可用，主要取决于所建立数学模型是否能够确切而又简洁地反映工程问题的客观实际。在建立数学模型时，片面地强调确切，往往会使数学模型十分冗长、复杂，增加求解问题的困难程度，有时甚至会使问题无法求解;片面强调简洁，则可能使数学模型过份失真，以致失去了求解的意义。合理的做法是在能够确切反映工程实际问题的基础上力求简洁。设计变量、目标函数和约束条件是组成优化设计数学模型的三要素，下面分别予以讨论。1.设计变量的选择•机械设计中的所有参数都是可变的，但是将所有的设计参数都列为设计变量不仅会使问题复杂化，而且是没有必要的。例如材料的机械性能由材料的种类决定，在机械设计中常用材料的种类有限，通常可根据需要和经验事先选定，因此诸如弹性模量、泊松比、许用应力等参数按选定材料赋以常量更为合理;另一类状态参数，如功率、温度、应力、应变、挠度、压力、速度、加速度等则通常可由设计对象的尺寸、载荷以及各构件间的运动关系等计算得出，多数情况下也没有必要作为设计变量。因此，在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响程度认真分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。另外还应注意设计变量应当相互独立，否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。2.目标函数的确定•目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能够用来评价设计的优劣，同时必须是设计变量的可计算函数。选择目标函数是整个优化设计过程中最重要的决策之一。•有些问题存在着明显的目标函数，例如一个没有特殊要求的承受静载的梁，自然希望它越轻越好，因此选择其自重作为目标函数是没有异议的。但设计一台复杂的机器，追求的目标往往较多，就目前使用较成熟的优化方法来说，还不能把所有要追求的指标都列为目标函数，因为这样做并不一定能有效地求解。因此应当对所追求的各项指标进行细致的分析，从中选择最重要最具有代表性的指标作为设计追求的目标。•例如一架好的飞机，应该具有自重轻、净载重量大，航程长，使用经济，价格便宜，跑道长度合理等性能，显然这些都是设计时追求的指标。但并不需要把它们都列为目标函数，在这些指标中最重要的指标是飞机的自重。因为采用轻的零部件建造的自身重量最轻的飞机只会促进其它几项指标，而不会损害其中任何一项。因此选择飞机自重作为优化设计的目标函数应该是最合适的了。•若一项工程设计中追求的目标是相互矛盾的，这时常常取其中最主要的指标作为目标函数，而其余的指标列为约束条件。也就是说，不指望这些次要的指标都达到最优，只要它们不致于过劣就可以了。•在工程实际中，应根据不同的设计对象，不同的设计要求灵活地选择某项指标作为目标函数。以下的意见可作为选择时的参考。•对于一般的机械，可按重量最轻或体积最小的要求建立目标函数;对应力集中现象尤其突出的构件，则以应力集中系数最小作为追求的目标，对于精密仪器，应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数。在机构设计中，当对所设计的机构的运动规律有明确的要求时，可针对其运动学参数建立目标函数;若对机构的动态特性有专门要求，则应针对其动力学参数建立目标函数;而对于要求再现运动轨迹的机构设计，则应根据机构的轨迹误差最小的要求建立目标函数。3.约束条件的确定•约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件。和目标函数一样，它们也是设计变量的可计算函数。•如前所述，约束条件可分为性能约束和边界约束两大类。性能约束通常与设计原理有关，有时非常简单，如设计曲柄连杆机构时，按曲柄存在条件而写出的约束函数均为设计变量的线性显函数;有时却相当复杂，如对一个复杂的结构系统，要计算其中各构件的应力和位移，常采用有限元法，这时相应的约束函数为设计变量的隐函数，计算这样的约束函数往往要花费很大的计算量。3.约束条件的确定•在选取约束条件时应当特别注意避免出现相互矛盾的约束。因为相互矛盾的约束必然导致可行域为一空集，使问题的解不存在。另外应当尽量减少不必要的约束，不必要的约束不仅增加优化设计的计算量，而且可能使可行域缩小，影响优化结果。三、数学模型的尺度变换•数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态，使之易于求解的技巧。在多数情况下，数学模型经过尺度变换后，可以加速优化设计的收敛，提高计算过程的稳定性。下面分别对目标函数、设计变量和约束函数的尺度变换作一简要介绍。1.目标函数的尺度变换•在优化设计中，若目标函数严重非线性，致使函数性态恶化，此时不论采用哪一种优化方法，其计算效率都不会高，而且会使计算很不稳定。若对目标函数作尺度变换，则可大大地改善其性态，加速优化计算的进程。2.设计变量的尺度变换•当各设计变量之间在量级上相差很大时，在给定的搜索方向上各自的灵敏度也相差很大。灵敏度大的，则搜索变化快，否则相反。为了消除这种差别，可以对设计变量进行重新标度，使它们成为无量纲和规格化的设计变量，并称这种处理为设计变量的尺度变换。具体做法是给原设计变量xi乘以一个尺度变换因子ki，得到新的设计变量第二节机床主轴结构优化设计•一、数学模型的建立•机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。下面以两支承主轴为例说明其优化设计的全过程。•图8-2所示的是一个已经简化的机床主轴。在设计这根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一是主轴的自重;一是主轴伸出端C点的挠度。对于普通机床，并不追求过高的加工精度，对机床主轴的优化设计，以选取主轴的自重最轻为目标，外伸端的挠度是约束条件。•当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。即孔径d、外径D、跨距Z及外伸端长度a。由于机床主轴内孔常用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定，不能作为设计变量。故设计变量取为三、进一步的考虑•上述主轴优化设计中是把阶梯轴简化成当量直径的等截面轴进行结构分析的，这只是一种近似分析方法，而其近似程度往往不能令人满意。尤其是一些受力、形状和支承都比较复杂的轴，不可能作出那样的简化，况且机床主轴的设计还对其动力学性能提出一定的要求。•因此，将主轴简化后用材料力学公式进行分析的方法也不能满足工程设计的需要。•图8-3所示的机床主轴为三支承系统，受有力和力矩的作用。对其进行重量最轻结构优化设计，不仅对伸出端点的挠度有要求，而且对主轴系统的第一阶自振频率也有要求。对于这样复杂的系统，材料力学分析方法已显得无能为力了。三、进一步的考虑•这时常使用有限元法来计算系统的应力、变形、自振频率等。有限元法是一种数值计算方法，它能够精确地对大多数机械结构件进行结构分析，但其计算量相当大。尤其是把它和优化方法结合起来进行结构优化设计时，还需要多次地进行有限元分析。这就不得不认真地研究怎样以尽可能少的有限元分析次数而获得优化结果，它是结构优化设计研究中的一个重要课题。目前，机械结构优化设计已成为机械优化设计中的一个重要分支，并且近年来其研究和应用已经取得了不少成果。第三节圆柱齿轮减速器的优化设计•圆柱齿轮减速器是一种使用非常广泛的机械传动装置。我国目前生产的各种类型的减速器还存在着体积大、重量重、承载能力低、成本高和使用寿命短等问题，与国外先进产品相比还有相当大的差距。对减速器进行优化设计，选择其最佳参数是提高承载能力、减轻重量和降低成本等各项指标的一种重要途径。•减速器的优化设计一般是在给定功率P、齿数比u,输人转速n以及其他技术条件和要求下，找出一组使减速器的某项经济技术指标达到最优的设计参数。下面介绍建立减速器优化设计数学模型时，如何选择设计变量、目标函数和约束条件的一般原则。第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第三节圆柱齿轮减速器的优化设计第四节平面连杆机构的优化设计第四节平面连杆机构的优化设计第四节平面连杆机构的优化设计第四节平面连杆机构的优化设计第四节平面连杆机构的优化设计第四节平面连杆机构的优化设计第四节平面连杆机构的优化设计第四节平面连杆机构的优化设计•本章结束