2014年湖南高考数学理科(含答案)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足iizz（i为虚数单位）的复数z=（）A．11i22B．11i22C．11i22D．11i222．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是1p，2p，3p，则（）A．123pppB．231pppC．132pppD．123ppp3．已知(),()fxgx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且32()()1fxgxxx，则(1)(1)fg（）A．-3B．-1C．1D．34．51(2)2xy的展开式中23xy的系数是（）A．-20B．-5C．5D．205．已知命题p：若xy，则xy；命题q：若xy，则22xy．在命题①pq②pq③()pq④()pq中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t，则输入的S属于（）A．[6,2]B．[5,1]C．[4,5]D．[3,6]图1否是结束输出SS=t-3t=2t2+1t0?输入t开始12俯视图侧视图7．一块石材表示的几何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4图28．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．2pqB．(1)(1)12pqC．pqD．(1)(1)1pq9．已知函数()sin()fxx，且2π30()0fxdx，则函数()fx的图象的一条对称轴是（）A．5π6xB．7π12xC．π3xD．π6x10．已知函数21()e(0)2xfxxx与2()ln()gxxxa的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．1(,)eB．(,e)C．1(,e)eD．1(e,)e二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两提作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线2cos,1sinxCy：（为参数）交于A，B两点，则2AB，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，则直线l的极坐标方程是_____．12．如图3，已知,ABBC是O的两条弦，,3,22AOBCABBC，则O的半径等于_____．正视图6813．若关于x的不等式23ax的解集为5133Axx，则a=_______．（二）必做题（14－16题）14．若变量,xy满足约束条件,4,yxxyyk且2zxy的最小值为6，则k______．15．如图4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为,abab，原点O为AD的中点，抛物线220ypxp经过,CF两点，则ba_______．16．在平面直角坐标系中，O为原点，1,0,0,3,3,0ABC动点D满足1CD，则OAOBOD的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发相互独立．（I）求至少有一种新产品研发成功的概率；（II）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．yxGFECDBAO4/1718．（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD中，1,2,7ADCDAC．（I）求cosCAD的值；（II）若7cos14BAD，21sin6CBA，求BC的长．图5DCBA5/1719．（本小题满分12分）如图6，四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等，11111,ACBDOACBDO，四边形11ACCA和四边形11BDDB为矩形．（I）证明：1OO底面ABCD；（II）若060CBA，求二面角11COBD的余弦值．6/1720．（本小题满分13分）已知数列na满足111,nnnaaap，*nN．（I）若na为递增数列，且123,2,3aaa成等差数列，求p的值；（II）若12p，且21na是递增数列，2na是递减数列，求数列na的通项公式．7/1721．（本小题满分13分）如图7，O为坐标原点，椭圆1:C222210xyabab的左右焦点分别为12,FF，离心率为1e；双曲线2:C22221xyab的左右焦点分别为34,FF，离心率为2e，已知1232ee，且2431FF．（I）求12,CC的方程；（II）过1F点的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与2C交于,PQ两点时，求四边形APBQ面积的最小值．8/1722．（本小题满分13分）已知常数0a,函数2ln12xfxaxx．（I）讨论fx在区间0,上的单调性；（II）若fx存在两个极值点12,xx,且120fxfx，求a的取值范围．9/172014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案与解析一．选择题．1．【答案】B【解析】由题可得111122ziiiziziziizizi,故选B．2．【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123ppp,故选D．3．【答案】C【解析】分别令1x和1x可得113fg且111fg111fg,则1131211111fgffgg111fg,故选C．4．【答案】A【解析】第1n项展开式为55122nnnCxy,则2n时,2532351121022022nnnCxyxyxy,故选A．5．【答案】C【解析】当xy时,两边乘以1可得xy,所以命题p为真命题,当1,2xy时,因为22xy,所以命题q为假命题,所以②③为真命题,故选C．6．【答案】D【解析】当2,0t时,运行程序如下,2211,9,32,6ttSt,当0,2t时,33,1St,则2,63,13,6S,故选D．7．【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则2286862rrr,故选B．8．【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x,则有2111xpq111xpq,故选D．9．【答案】A10/17【解析】函数fx的对称轴为2xk2xk,因为2302sin0coscos03xdxsin03,所以23k或423k,则56x是其中一条对称轴,故选A．10．【答案】B【解析】由题可得存在0,0x满足0220001ln2xxexxa001ln2xexa0,当0x取决于负无穷小时,001ln2xexa趋近于,因为函数1ln2xyexa在定义域内是单调递增的,所以01ln002ealnlnaeae,故选B．二．填空题．11．【答案】2sin42【解析】曲线C的普通方程为22211xy,设直线l的方程为yxb,因为弦长2AB,所以圆心2,1到直线l的距离0d,所以圆心在直线l上,故1yx2sincos1sin42,故填2sin42．12．【答案】32【解析】设线段AO交BC于点D延长AO交圆与另外一点E,则2BDDC,由三角形ABD的勾股定理可得1AD,由双割线定理可得2BDDCADDEDE,则直径332AEr,故填32．13．【答案】3【解析】由题可得52331233aa3a,故填3．14．【答案】211/17【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,,4,kkkk,2,2,且,4yxxy的可行域如图,所以2k,则当,kk为最优解时,362kk,当4,kk为最优解时,24614kkk,因为2k,所以2k,故填2．15．【答案】21【解析】由题可得,,,22aaCaFbb,则2222apaabpb21ab,故填21．16．【答案】23【解析】动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆,则设为3cos,sin0,2,则223cos1sin3OAOBOD82cos3sin,因为cos3sin的最大值为2,所以OAOBOD的最大值为1223,故填23．17．某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B．设甲,乙两组的研发是相互独立的．（1）求至少有一种新产品研发成功的概率;（2）若新产品A研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望．17．【答案】（1）1315（2）详见解析【解析】（1）解:设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35,则2312211353515PB,再根据对立事件概率之间的公式可得13115PAPB,所以至少一种产品研发成功的概率为1315．（2）由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有0,1200,1000,120100,即12/170,120,100,220,由独立试验的概率计算公式可得:2320113515P;23412013515P;2311001355P;232220355P;所以的分布列如下:0120100220P2154151525则数学期望24120120100220151555E322088130．18．如图5,在平面四边形ABCD中,1,2,7ADCDAC．（1）求cosCAD的值;（2）若7cos14BAD,21sin6CBA,求BC的长．18．【答案】（1）27cos7CAD（2）67【解析】解:（1）由DAC关于CAD的余弦定理可得222cos2ADACDCCADADAC174217277,所以27cos7CAD．（2）因为BAD为四边形内角,所以sin0BAD且sin0CAD,则由正余弦的关系可得sinBAD21891cos14BAD