周期信号的傅立叶级数表示

第3章周期信号的傅立叶级数表示本章在讨论复指数信号作为LTI系统特征函数的基础上，引出了时域周期信号可以看作复指数谐波信号的线性组合，即周期信号的频域分析——傅立叶级数，给出了周期信号的频谱图表示方法，它与周期信号的时域波形表示是一一对应的。周期信号的傅立叶级数表示是后续展开对非周期信号频域分析的基础。本章内容：LTI系统的特征函数与特征值；周期信号的傅立叶级数表示；周期性矩形脉冲信号的频谱；傅立叶级数的性质；LTI系统对周期信号的响应。3.1历史回顾1822年,法国科学家傅立叶在研究热传导理论时发表了”热的分析理论”,提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理,奠定了傅立叶级数的理论基础.泊松，高斯等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用．进入２０世纪以后，谐振电路，滤波器，正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅立叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景．在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅立叶变换法具有很多的优点．快速傅立叶变换为傅立叶分析法赋予了新的生命力．3.2LTI系统对复指数信号的响应如果一个LTI系统的单位冲激响应或单位脉冲响应是)(nh或)(th，当系统的输入是复指数信号nZ或ste，则由时域卷积系统的输出是：可得()()stytHse()()nynHzZ其中：()Hs是单位冲激响应ste和的积分()Hz也是单位脉冲响应和特征函数的求和信号的分解()kstKkxtAe()nkKkxnAZ根据系统的线性特性，则系统的输出()()kstkKkytHsAe()()nkKKkynHzAZ复指数信号是唯一能成为一切LTI系统的特征函数的信号，与之对应的特征值。()Hs()Hz对于时域的任何一个信号或者，若能表示成为下列形式：因为：利用系统的齐次性和叠加性则：同理：这就是周期信号进行频域分解的基本出发点。3.3连续时间周期信号的傅立叶级数表示3.3.1成谐波关系的复指数信号的线性组合0()jtKkxtAe002T该信号集中有无穷多个谐波分量，其中每个信号分量都是以为周期的，其公共周期为且该集合中所有信号都是彼此独立的。上式就是的傅里叶级数，这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号。即：连续时间周期信号可以分解成无数多个谐波分量。一般来说，周期信号都可以表示为：例：在这一信号中有四个谐波分量，。在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，线段的位置表示相应的频率。3.3.2连续时间周期信号傅立叶级数表示的确定当一个给定的信号能表示成级数的形式,就需要一种办法来确定系数.若0()jktkkxtae0001()jktkTaxtedtT系数往往称为频谱系数，是对信号中的每一个谐波分量的大小作出的度量。ka如果周期信号可以表示为傅里叶级数：则：两边同时在一个周期内积分，有所以：在确定上述积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为：为傅立叶级数的系数或频谱系数，因为它是对信号中的每一个谐波分量的大小作出的度量。即是信号在一个周期内的平均值，也就是信号的直流分量。针对不同的信号，其不一样，则频谱图不同.频谱图绘出了信号的频谱特性，如信号由那些谐波分量构成；分量的大小，分布等信息。它与信号的时域波形表示二者是等价的。例：),306cos(8.0)453cos(4.0)202cos(2)10cos(31)(tttttf试画出f(t)的振幅谱和相位谱。解f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据10)cos(2)(nnntnAAtf可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分别为二、三、六次谐波频率。且有8.04.063AA304563其余0nA2321AA120A20100211图：信号的频谱(a)振幅谱；(b)相位谱Ano23456(a)321no23456(b)15°30°45°10°20°45°30°320.40.8图信号的双(a)振幅谱；(b)相位谱|Fn|o23456(a)121.510.20.41.510.20.43－4－5－6－no2345615°30°45°10°20°45°30°－15°－30°－45°－10°－20°－45°－30°－2－3－4－5－6－－2－(b)3.4傅立叶级数的收敛若周期信号是它在一个周期内的能量有限信号，则所求到的诸系数是有限值．ka()xt也就是说当在一个周期内具有有限能量就保证收敛．()xt狄里赫利条件：１．在任何周期内，()xt必须绝对可积．２．在任意有限区间内，具有有限个起伏变化．()xt３．在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在这些不连续点上，函数是有限值．()xt傅立叶级数收敛的条件：连续周期信号的傅立叶级数表达式是一个无穷级数，其收敛条件有两组。A在一个周期内平方可积。B满足狄里赫利条件。()xt3.5连续时间傅里叶级数的性质这些性质的学习，有助于对概念的理解对信号的傅里叶级数展开。1、线性若、都是以T为周期的信号，且：则：2、时移3、反转推论：若为偶函数，即，则；若为奇函数，则；4、尺度变换，以T为周期，对，若，则以为周期，若其傅里叶系数为，则：令，当在变化时，从变化，于是：虽然傅里叶级数的系数没变，但基波频率变化了。5、相乘，均以T为周期,,则：3.6离散时间周期信号的傅里叶级数表示一、离散时间傅里叶级数（DFS）成谐波关系的复指数信号集如下:该信号集中每一个信号都以N为周期，且该集合中只有N个信号是彼此独立的。将这N个独立的信号线性组合起来，一定能表示一个以N为周期的序列。即：其中k为N个相连的整数。这一表达式就称为离散时间傅里叶级数（DFS），其中也称为周期信号的频谱。二、傅里叶级数系数的确定由两边同乘以，得显然仍是以N为周期的，两边对n在一个周期内求和：而：∴即：或显然上式满足，即也是以N为周期的，或者说中只有N个是独立的。对实信号同样有：。三、DFS的收敛DFS是一个有限项的级数，确定的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题。3.7DFS的性质一、相乘若、都是以N为周期的信号，且：则周期卷积二、差分三、Passival定理上式表明：一个周期信号的平均功率等于它的所有的谐波分量的平均功率之和。3.8傅里叶级数与LTI系统——系统的频率响应LTI系统对复指数信号所产生的作用只是给输入信号加权一个相应的特征值。对连续时间系统：对离散时间系统：称、为系统的系统函数。如果有称为连续时间LTI系统的频率响应。如果则称为离散时间LTI系统的频率响应。对而言，以为周期。如果一个LTI系统输入周期性信号或，由于根据LTI系统对复指数信号的响应及系统的线性特性，则有：例：关于某一序列给出如下的条件，确定。⑴、是周期的，周期；⑵、；⑶、；⑷、在满足上述三个条件的所有信号中，具有每个周期内最小的功率。解：由（1）得：由⑵得：时，∴由⑶得：＝∴又要求P最小，则∴例：某一离散时间LTI系统，，输入为：，求输出。解：；求下列连续时间周期信号的傅里叶级数表示式：且以2为周期。取，则有,则∴