两点式与一般式方程

两点式、一般式方程学之趣兴趣是最好的老师目标导学目标要求：1．明确两点式方程使用的前提条件，会根据条件写出直线的两点式方程．2．理解直线在坐标轴上截距的概念，掌握直线的截距式方程．3．掌握直线方程的一般式，根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式间的关系．重点关注：1．求直线的两点式、截距式和一般式方程．2．直线方程几种形式的互化.基础梳理1.如果直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，则直线l的两点式方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.2．直线l与x轴的交点为(a,0)(a≠0)，a叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴的交点为(0，b)(b≠0)，b叫做直线l在y轴上的截距．则直线的两点式方程为y－0b－0＝x－a0－a，即xa＋yb＝1，它是由直线在x轴、y轴上的截距确定的，所以叫直线的截距式方程．3．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22.4．方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)叫做直线的一般式方程．5．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x、y的二元一次方程，任何关于x、y的二元一次方程都表示直线．6．建立直角坐标系后，二元一次方程的每一个解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的解集，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线.思考讨论过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A.x＋y＝5B.3x－2y＝0C.x＋y＝5或3x－2y＝0D.以上答案都不对提示：(1)当截距都为0时，可设方程为y＝kx.又∵过点(2,3)，∴k＝32.∴y＝32x，即3x－2y＝0.(2)当截距都不为0时，可设方程为xa＋ya＝1.又∵过点(2,3)，∴2a＋3a＝1.∴a＝5.∴x5＋y5＝1.∴x＋y＝5.综合以上两种情况得直线方程为x＋y＝5或3x－2y＝0.课前预习1.过点P1(－2,0)，P2(1,3)的直线方程是()A．y＝－x＋1B．y＝－3x－6C．y＝x＋2D．y＝－x－2【解析】利用直线的两点式方程得y－03－0＝x＋21＋2，∴y＝x＋2.【答案】C2．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行知斜率相等，即3－k4－k＝k－3，解得k＝5，故选C.【答案】C3．直线的斜率为－43，且直线不通过第一象限，则直线的方程可能为()A．3x＋4y＋7＝0B．4x＋3y＋7＝0C．3x－4y＋7＝0D．4x＋3y－24＝0【解析】由4x＋3y＋7＝0得y＝－43x－73，k0，b0，不过第一象限．【答案】B4．直线x－y－1＝0与两坐标轴围成图形的面积为______．【解析】令x＝0，得直线x－y－1＝0与y轴交点坐标为(0，－1)；令y＝0，得直线x－y－1＝0与x轴交点坐标为(1,0)．所得直角三角形的面积为12×1×1＝12.【答案】125．斜率为－3，在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是________．【解析】由题意可设方程为y＝－3x＋b，令y＝0得x＝b3，∴b3＝2.∴b＝6.∴y＝－3x＋6，即3x＋y－6＝0.【答案】3x＋y－6＝0讲之道讲得好不如悟得好要点突破1.两点式的特殊情况过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线l满足的条件和方程的关系如下：几何与坐标轴不垂直与x轴垂直与y轴垂直条件代数x1≠x2，y1≠y2x1＝x2y1＝y2方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1x＝x1y＝y12.截距式与两点式的关系截距式为两点式的特例，即将任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)特殊化为点(a,0)，(0，b)而得到的．3．一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的特殊情况特殊直线系数满足的条件垂直x轴B＝0垂直y轴A＝0与x，y轴都相交A·B≠0过原点C＝04.直线方程的一般式向其他形式的转化形式方程转化条件一般式Ax＋By＋C＝0斜截式y＝－ABx－CBB≠0点斜式y－－CB＝－AB(x－0)B≠0截距式x－CA＋y－CB＝1A，B，C均不为零题型讲练题型一直线的两点式和截距式方程例1求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(－2,3)、B(4，－1)；(2)在x轴、y轴上的截距分别为4、－5；(3)经过点M(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．【分析】要根据题设的不同要求，选择适当的方程形式．“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑．【解】(1)由两点式方程，得y－3－1－3＝x＋24＋2，化简得y＝－23x＋53.(2)由截距式，得x4＋y－5＝1.(3)设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.当a≠0，b≠0时，l的方程为xa＋yb＝1；∵直线过M(4，－3)，∴4a－3b＝1.又∵|a|＝|b|，∴4a－3b＝1，a＝±b.解得a＝1，b＝1或a＝7，b＝－7.当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l的方程为3x＋4y＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.【答案】(1)y＝－23x＋53(2)x4＋y－5＝1(3)x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0【小结】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．一般来说直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则有三种情况：截距相等，斜率为－1；截距互为相反数，斜率等于1；直线过原点．我来试试变式1(1)已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程；(2)求过点A(4,1)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．【解】(1)∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为y－1－1－1＝x－42－4，即x－y－3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为y－21－2＝x－24－2，即x＋2y－6＝0.∴AB、AC、BC三边所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.(2)①若直线l在两坐标轴上的截距不为零(或者说直线l不过原点)，则可设l的方程为xa＋ya＝1，由已知l过点A(4,1)，即4a＋1a＝1，得a＝5，l的方程为x5＋y5＝1.②若直线l在两坐标轴上的截距为零(或者说直线l过原点)，则可设l的方程为y＝kx，代入点A的坐标，得k＝14，l的方程为y＝14x.∴所求直线l的方程为x5＋y5＝1或y＝14x.题型二直线的一般式方程例2根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.【分析】根据已知的几何元素，选择适当的形式，然后再化为一般方程．【解】(1)由点斜式方程得y－3＝3(x－5)，整理得3x－y＋3－53＝0.(2)由斜截式方程得y＝4x－2，整理得4x－y－2＝0.(3)由两点式方程得x＋12＋1＝y－5－1－5，整理得2x＋y－3＝0.(4)由截距式方程得x－3＋y－1＝1，整理得x＋3y＋3＝0.【答案】(1)3x－y＋3－53＝0(2)4x－y－2＝0(3)2x＋y－3＝0(4)x＋3y＋3＝0【小结】直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式都是直线方程的特殊形式．在特殊形式中，点斜式是最基本、最重要的．因为斜截式、两点式、截距式都可以由点斜式推出．直线的特殊形式方程都有明显的几何意义，当具备这些几何条件时就能很容易地写出其直线方程，所以同学们在解题时要根据已知条件恰当地选用直线方程的形式．我来试试变式2根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－12且经过点A(8，－2)；(2)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．【解】(1)由点斜式，得y－(－2)＝－12(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由两点式，得y－－2－4－－2＝x－35－3，即x＋y－1＝0.题型三直线方程的综合应用例3已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的方程，l′满足(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．【分析】解答本题可先求出l的斜率，然后由平行(垂直)条件得所求直线的斜率，再由点斜式写方程；也可由两直线平行(垂直)的方程特征设出方程，再由待定系数法求解．【解】解法一：由题设l的方程可化为：y＝－34x＋3，∴l的斜率为－34.(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－34.又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－34(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为43，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.解法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.【答案】(1)3x＋4y－9＝0(2)4x－3y＋13＝0【小结】(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由其他条件列方程求出C1.(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由其他条件列出方程求出C2.我来试试变式3直线过点P43，2且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解】设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，由△AOB的周长为12知，a＋b＋a2＋b2＝12.①又∵过点P43，2，∴43a＋2b＝1.②由△AOB的面积为6知，ab＝12.③由①②③，解得a＝4，b＝3，则所求直线的方程为x4＋y3＝1，即3x＋4y－12＝0.特别提醒直线方程的两点式是利用点斜式得出的，所以当直线的斜率不存在时，不能用两点式，并且把点斜式变形为两点式的过程中要求y1≠y2，所以当直线的斜率为零时，也不能用两点式来求直线的方程.技之巧好方法才有好成绩考题再现(2012·西安模拟)(10分)已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．解题实录标准解答解：由题设l2的方程可化为y＝－m－23x－23m，2分则其斜率k2＝－m－23，在y轴上的截距b2＝－23m.4分∵l1∥l2，∴l1的斜率一定存在，即m≠0.∴l1的方程为y＝－1mx－6m.6分由l1∥l2，得－m－23＝－1m，－23m≠－6m，8分解得m＝－1.∴m的值为－1.10分阅卷点评：两直线平行时，斜率存在且相等，若一条直线的斜率不存在时，则它的斜率都不存在；当两直线的斜率相等时，可能平行也可能重合.