9 梁的应力_9.1 梁内正应力、正应力强度条件

主讲教师：杨爱平2思路：先研究只有M，没有Q情况下，正应力分布规律：M-关系。然后分析Q的存在对分布规律的影响。从而得到既有M又有Q时的正应力分布规律。梁段横截面上只有M，没有Q时，称为纯弯曲。梁段横截面上同时有M、Q时，称为横力弯曲。NcNlQMMMQMpapapABDCppaLa++pAC、DB两段为横力弯曲。CD段发生纯弯曲由知，QdxdM弯矩将为一常数。当梁段中剪力Q=0时，1.几何关系观察矩形截面梁纯弯变形现象MM9.1梁内正应力、正应力强度条件9.1.1纯弯曲时梁内的正应力变形现象：所有纵向线变成曲线，靠近上部的缩短，下部伸长。所有横向线仍保持为直线，只是互相倾斜了一个角度，且仍垂直于变形后的纵向线。原矩形横截面，上部变宽了，下部变窄了。推断与假设由假设1：变形前为平面的梁横截面，变形后仍为平面，只是绕某轴转动了一个角度，且仍垂直于变形后的梁轴线。由假设2：纵向纤维间无挤压。基于上面假设所得到的理论称为梁的简单理论。由梁的简单理论导出的应力和变形为长期的工程实践所证实是符合实际情况的。对于纯弯曲问题与弹性理论的结果一致。几何关系的推导：设想梁是由无数根纵向纤维组成的，梁在正弯矩作用下，靠近顶面纤维缩短，靠近底面的纤维伸长，由于连续性假设知，从顶部到底部纵向纤维，由缩短到伸长是连续变化的。所以，其间必有一层纤维既不伸长，也不缩短。称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。建立坐标系oxy荷载作用面oxz中性层z轴为中性轴xy中性层中性轴z#中性层和中性轴xyz•中性层梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。•中性轴中性层与横截面的交线。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短。取相隔dx的梁段如图所示1212oobbdxydobboyoo为中性层，bb为距中性层为y的纵向纤维。设：变形后中性层的曲率半径为，相距为dx的两横截面夹角为d1221bb纤维的线应变为dxdxdybbbbbb)(dddy)(ydobboy对给定截面，为常数，反映弯曲的程度，上式表明，横截面上某点的纵向应变与该点到中性轴的距离成正比。2.物理关系由于纵向纤维间无挤压，每一纵向纤维都只在纵向受拉伸或压缩。所以，其应力-应变关系为胡克定律。yEE待解决的问题：=？中性层(轴)的位置弯曲正应力分布规律M•与中性轴距离相等的点，正应力相等（沿横截面宽度方向均匀分布）；•正应力大小与其到中性轴距离成正比；•弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；•弯矩为负时，正应力上拉下压；M•中性轴上，正应力等于零yEEAdANAzdAyMAydAzMN=0，My=0，Mz=MzydAdA3.静力关系横截面上的微力，dA组成平行于x轴的空间平行力系，这个力系只可能简化为横截面上的正应力应满足的三个静力关系为：AAAydAEdAyEdAN0zSE00zSEZ轴必过横截面的形心。zydAdA静矩（面积矩）中性轴必然通过横截面的形心AAAyyzdAEdAyzEdAzMyzIE轴为对称轴。y0Iyz0MyzydAdA惯性积MIEdAyEdAyEdAyMzAAAz22由zEIM1(9-1)yIMEIMEyyEzz(9-2)yIMz抗弯刚度2zAIydA其中：惯性矩（m4）zIMy横截面上某点正应力该点到中性轴距离该截面弯矩该截面惯性矩(9-2)讨论：符号：在我们的坐标系中，M用规定的符号，y用坐标，则得到的之符号即为我们规定的符号，即正号为拉应力，负号为压应力。正应力公式与截面形状无关，只要求满足平面弯曲的条件。yMz中性轴上=0，中性轴又称为零应力线。最大正应力发生在距离中性轴最远处(最大正应力通常指绝对值)maxmaxyIMzmaxyIWzz抗弯截面模量(m3)maxzMW(9-3)最大正应力：My2y1M中性层z轴为横截面的对称轴时(如圆形、矩形、工字形)||||maxmaxCLz轴不是对称轴时(如T字、梯形等)||||maxmaxCL某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上：zWMmaxWz称为抗弯截面模量，Z为中性轴.矩形截面zbh62bhWz实心圆截面zd323dWzmaxyIWZz9.1.2纯弯曲理论在横力弯曲中的推广，梁的正应力强度条件1.纯弯曲理论推广纯弯曲正应力公式成立的前提：平面假设，纵向纤维间无挤压，横力弯曲梁横截面上有剪力，因而横截面上将还有剪应力存在。例如矩形截面梁QAA矩形截面从上到下各点不均匀的剪应力将引起不均匀的错动，因此，横截面不可能再保持为平面。而且由于横向力的存在，将引起梁纵向纤维间的相互挤压，因此，对于横力弯曲，纯弯曲时关于变形的两个假设，均不成立。即剪应力的存在对正应力的分布规律肯定有影响。弹性理论的精确分析告诉我们，这种影响与梁的跨高比l/h有关，跨高比l/h越大，影响越小。即梁越是细长，影响越小。l/h5时，横力弯曲时可近似地用纯弯曲时公式计算弯曲正应力:yIxMz例91悬臂梁荷载及几何尺寸如图所示，试求(1)1-1截面上A、B、C、D四点的正应力。(2)求梁上最大正应力。4m3m15kN20kNmACBD1m1150ABDyzC309015015090解：(1)画出梁的弯矩图4m3m15kN20kNmACBD1mM2520(kNm)+1150ABDyxC309015015090(2)计算A、B、C、D四点的正应力。mkNM20111233101230018012bhIz3631110150104051020AzAyIMMPaPa41.71041.764610405m0B中性轴上czCyIM11MPa93.41093.4104051010010206633MPayIMDzD41.71150ABDyxC309015015090(3)求最大正应力对任一截面而言，最大正应力发生在最上缘或最下缘，对全梁而言，最大正应力发生在最大弯矩所在面的最上或最下缘。这个面通常称为“危险截面”。maxmaxmaxyIMzPa63631026.910150104051025MPa26.9最大拉应力在最上缘，最大压应力在最下缘。M2520(kNm)+例92求图示梁的最大拉应力和最大压应力。q=10kN/mP=20kNABCD2m3m1m20017085853030解：(1)确定截面中性轴的位置，以及Iz值。iiiAyAy1)(1392003017030185200308517030mm23)13915170(302001230200zI23)2170139(1703012170304646103.40103.40mmm20017085853030zyy1q=10kN/mP=20kNABCD2m3m1m20kNm10kNm+(2)画弯矩图20kNm10kNm+–++–(3)求最大拉应力与最大压应力分析B、C两截面B截面C截面||||maxmaxCyCL||||maxmaxByBLBC||||maxmaxcyBy显然MPayIMzBByy6910139103.4010203631maxmax比较cLBLmaxmax与MPayIMzBBL2.301061103.4010203632maxMPayIMzCCL5.3410139103.4010103631maxMPacLL5.34maxmaxMPaByy69maxmax最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上。中性轴为对称轴时，Lmax与ymax在同一截面上，在|M|max所在的面上。中性轴为非对称轴时，Lmax与ymax可能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max所在的面上。梁的弯矩图如图(b)所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为mNqlMmax3000216000222例9-3如图(a)所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，求最大弯矩44因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为在截面的下端受最大压应力，其值为MPa385Pa103850328.0106.253000682maxmaxyIMzC（2）求最大应力MPa178Pa101780152.0106.253000681maxmaxyIMzT•梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部•梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处。zWMmaxmax2.梁的正应力强度条件zWMmaxmaxMmax梁内最大弯矩Wz危险截面抗弯截面模量[σ]材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷。•梁的强度条件(9-6)三类强度计算校核强度设计截面计算最大荷载][maxzWM][maxMWz][maxzWM梁的最大正应力总是在某个截面最上缘或最下缘，而这些点剪应力一定为零，再略去不重要的纵向纤维间的挤压，于是梁上这些点的受力情况与轴向拉压问题是一样的。因此，强度条件可写成。][max或写成][maxmaxZWM(9-6)三类强度计算校核强度设计截面计算最大荷载][maxZWM][maxMWZ][maxZWM对塑性材料][][][cL强度条件理解为，绝对值最大的工作应力不大于许用应力对铸铁等脆性材料][maxLL强度条件理解为][maxCC均为绝对值。maxC][C、危险截面危险点对塑性材料][][][cL强度条件(9-6)理解为最大工作应力的绝对值不大于许用应力绝对值最大的工作应力发生在弯距绝对值最大的面上，距离中性轴最远处，对这种情况：危险截面弯矩绝对值最大的面危险点危险面上距中性轴最远点对脆性材料][][ct强度条件(9-6)理解为][maxLL][maxcc均为绝对值。][maxcc与a.当截面的中性轴为对称轴时(矩形、圆形、工字形等)Lmax与cmax发生在同一截面上，即弯曲绝对值最大的面上。一个在最上缘，一个在最下缘，且Lmax与cmax数值上相等。此时危险截面弯距绝对值最大的面危险点危险截面的最上缘和最下缘b.当截面的中性轴不是对称轴时(T字形截面、梯形截面等)Lmax与cmax可能不在同一截面上，但只可能在最大正弯矩和最大负弯矩的面上，此时可能危险截面最大正弯矩、最大负弯矩面危险点危险截面的最上缘或最下缘。因此，强度条件(9-6)式中Mmax理解为危险截面的弯矩值，而危险截面在一般情况下，就是绝对值最大的弯矩所在面，只有一种情况例外，即：材料抗拉、抗压许用值不相等，且中性轴非对称轴的情况，这种情况的可能危险面有两个：最大正弯矩和最大负弯矩所在面。例94图示简支梁，为矩形截面木梁，承受均布荷载q=3.6kN/m,其截面尺寸为b=120mm,h=180mm。梁的计算跨度L=5m.所用木材的许用应力[]=10Mpa，求：qL120180(1)校核梁的强度；(2)确定许用荷载；(3)若强度不够，则试按b/h=2/3重新设计梁的截