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考无忧论坛-----考霸整理版高等数学微分和积分数学公式（集锦）（精心总结）一、00101101lim0nnnmmxmanmbaxaxanmbxbxbnm−−→∞⎧=⎪⎪+++⎪=⎨+++⎪∞⎪⎪⎩（系数不为0的情况）二、重要公式（1）0sinlim1xxx→=（2）()10lim1xxxe→+=（3）lim()1nnaao→∞=（4）lim1nnn→∞=（5）limarctan2xxπ→∞=（6）limtan2xarcxπ→−∞=−limarccot0xx→∞=（8）limarccotxxπ→−∞=（7）（9）（10）（11）lim0xxe→−∞=limxxe→+∞=∞0lim1xxx+→=下列常用等价无穷小关系（0x→）三、211cos2xx−∼sinxx∼arcsinxx∼tanxx∼arctanxx∼()ln1xx+∼1∼1lna−∼()11xex−xaxxx∂+−∂∼、导数的四则运算法则四()uvuv′′′±=±()uvuvuv′′′=+2uuvuvv′v′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠五、基本导数公式⑵⑴()0c′=1xxμμμ−=⑶()sincosxx′=⑷(sin)cosx=−⑸(2ec′tans)′=x⑹()2xxcotcscxx′=−⑺()ansecsectxx′=⋅csccotx⑻(csc)xx′=−⋅x()1lnxx′=⑼()xxee′=⑾⑽()lnxxaaa′=考无忧论坛-----考霸整理版⑿()1loglnxaxa⒀(′=)211arcsinxx()21arcco′=⒁−1xsx′=−−()12xx′=⒂()21arctan1xx′=+⒃()21arccot1xx′=−+⒄()x′=1⒅高阶导数的运算法1）六、则()()()()()()()nnnuxvxuxvx±=±⎡⎤⎣⎦（2）()()()()nncuxcux=⎡⎤⎣⎦（()()()()nnnuaxbauaxb+=+⎡⎤⎣⎦（）3⎦∑本初等函数的n阶导数公式1）（4）⎣()()()()()()()0nnnkkknkuxvxcuxvx−=⋅=⎡⎤七、基()()!nnxn=（2）()()naxbnaxbeae++=⋅(3)()()lnnxxaa=（na(4)()()sinsin2nnaxbaaxbnπ⎛⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎣⎦⎟⎝⎠(5)()()coscos2nnaxbaaxbnπ⎛⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠(6)()()()11!1nnnnanaxbaxb+⋅⎛⎞=−⎜⎝⎠⎟++(7)()()()()()11!ln1nnnnanaxbaxb−⋅−+=−⎡⎤⎣⎦+八、微分公式与微分运算法则⑵⑶()0dc=()1dxxdxμμμ−=()sincosdxxd=xx⑹⑴⑷()cossindxxdx=−⑸()2tansecdxxd=()2cotcscdxxd=−x⑺x⑻()secsectandxxxd=⋅()csccsccotdxxxd=−⋅x⑼⑽⑾()xxdeedx=()lnxxdaaadx=()1lndxdxx=()1loglnxaddx⑿xa=⒀()21arcsin1dxdx=−⒁()21arccos1dxx=−−xdx⒂()21arctan1dxdxx=+⒃()21arccot1dxdxx=−+九、微分运算法则⑴⑵()duvdudv±=±()dcucdu=考无忧论坛-----考霸整理版()duvvduudv=+⑷2uvduudvdvv−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠⑶十、基本积分公式⑴⑵kdxkxc=+∫1xxdxμ1cμμ+lndxxcx=+∫=+⑶+∫lnxxaadxca=+∫⑷⑸xxedxec=+∫⑹∫cossinxdxxc=+⑻221sectancosdxxdxxcx==+∫∫⑺sincosxdxxc=−+∫⑼2cot21cscsinxdxx21arctan1dxxcx=++∫cx==∫∫⑽−+21arcsinx⑾1dxcx=+−∫、下列常用凑微分公积分型换元公式十一式uaxb=+()()(1)faxbdxfaxbdaxa+=+∫b+∫()()()11fxxdxfxdxμμμμ−=∫∫μuxμ=()()()1lnlnlnfxdxfxdxx⋅=∫∫lnux=()()()xxxfee∫xdxfed⋅=∫exue=()()()1lnxxxxfaadxfadaa⋅=∫∫xua=()()()sincossinsinfxxdxfxd⋅=∫∫xsinux=()()()cossincoscosfxxdxfxd⋅=−∫∫xcosux=()()()2tansectantanfxxdxfxd⋅=∫∫xtanux=()()()2cotcsccotcotfxxdxfxd⋅=∫∫xcotux=()()()21arctanarcnarcn1fxdxftaxdtaxx⋅=+∫∫arctanux=()()()21arcsinarcsinarcsin1fxdxfxdx⋅=−∫∫xarcsinux=考无忧论坛-----考霸整理版十二、补充下面几个积分公式tanlncosxdxxc=−+∫cotlnsinxdxxc=+∫seclnsectanxdxxxc=+∫+csclncsccotxdxxxc=−+∫2211arctanxdxcaxaa=++∫2211ln2xadxcxaaxa−=+−+∫221arcsinxdxcaax=+−∫22221lndxxxacxa=+±+±∫十三、分部积分法公式⑴形如naxxedx∫，令nux=，axdvedx=sinnxxdx∫nx，sindvxdx=令=u形如cosnxxdx∫cosdvxdx=令，nux=形如arctannxxdx∫⑵形如，令，形如arctanux=ndvxdx=lnnxxdx∫，令，形如∫，∫xx均可。的三角换元公式lnux=ndvxdx=⑶xdx令axue=sinaxexdxcosaxe,sin,cos十四、第二换元积分法中22ax+(1)2as2x−inxat=tanxat=(3)22xa−secxat=(2)【特殊角的三角函数值】（1）（2）sin00=1sin62π=（3）3sin32π=（4）sin12π=）（5）sin0π=（2）3cos62π=（1）cos01=（3）1cos32π=（4）cos02π=）（5）cos1π=−（1）（2）tan00=3tan63π=（3）tan33π=（4）tan2π不存在（5）tan0π=3cot33π=（1）cot0不存在（2）cot36π=（3）（4）cot02π=（5）cotπ不存在考无忧论坛-----考霸整理版十五、三角函数公式1.两角和公式sin()sincoscossinABABA+=+Bsin()sincoscossinABABAB−=−cos()coscossinsinABABA+=−Bcos()coscossinsinABABAB−=+tantantan()1tantanABBAAB++=−tatan)ntan(1tantanAB−AB−=AB+cotcot1cot()cotcotABABBcotcot1cot()A⋅−+=+cotcotABAB⋅BA+−=−.二倍角公式2n22sincosAAA=si2222cos2cossin12sin2cos1AAAAA=−=−=−22tatan2n1tanAAA=−3.半角公式1cossin22AA−=1coscos22AA+=1cossintan21cos1cosAAAA1cossincot21cos1coAAAA−==++AsA+==−−4.和差化积公式sinsin2sincos22⋅ababab+−+=sinsin2cossin22ababab+−−=⋅coscos2coscos22ababab+−+=⋅coscos2sinsin22ababab+−−=−⋅()sintantancoscosababab++=⋅5.积化和差公式()()1sinsincoscos2ababab=−+−−⎡⎤⎣⎦()()1coscoscoscos2ababab=++−⎡⎤⎣⎦()()ab−1sincossinsin2abab=++⎡⎤⎣⎦()()1cossinsinsin2ababab=+−−⎡⎤⎣⎦考无忧论坛-----考霸整理版6.万能公式22tan2sin1tan2aaa=+221tan2cos1tan2aaa−22tan2tan1tan2aaa=−=+7.平方关系22sincos1xx+=22secn1xtax−=22csccot1xx−=.倒数关系8tancot1xx⋅=seccos1xx⋅=csin1csxx⋅=9.商数关系sintancosxxx=coscotsinxxx=十六、几种常见的微分方程.可分离变量的微分方程：()()dyfxgydx=，()()()()11220fxgydxfxgydy+=12.齐次微分方程：dyyfdxx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠一阶线性非齐次微分方程：()()dypxyQxdx+=3.解为：()()()pxdxpxdxyeQxedxc−⎡⎤∫∫=+⎢⎥⎣⎦∫