79湖南师大附中高考数学二轮复习专项：函数

湖南师大附中高考数学二轮复习专项：函数1.甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数8xxf，12xxg，及任意的0x，当甲公司投入x万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于xf万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入x万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于xg万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：(1)请解释0,0gf；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入121a万元，乙在上述策略下，投入最少费用1b；而甲根据乙的情况，调整宣传费为2a；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为2b,,如此得当甲调整宣传费为na时，乙调整宣传费为nb；试问是否存在limnna，nnblim的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.2.已知三次函数cbxaxxxf23)(在y轴上的截距是2，且在),2(),1,(上单调递增，在（－1，2）上单调递减.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若函数)ln()1()2(3)()(mxmxxfxh，求)(xh的单调区间.3.已知函数155)(2xxx)(Rx，函数)(xfy的图象与)(x的图象关于点)21,0(中心对称。（1）求函数)(xfy的解析式；（2）如果)()(1xfxg，)2,)](([)(1nNnxgfxgnn，试求出使0)(2xg成20070328立的x取值范围；（3）是否存在区间E，使0)(xfxE对于区间内的任意实数x，只要Nn，且2n时，都有0)(xgn恒成立？4．已知函数：)(1)(axRaxaaxxf且（Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立.（Ⅱ）当f(x)的定义域为[a+21,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；（Ⅲ）设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)|,求g(x)的最小值.5.设()fx是定义在]1,0[上的函数，若存在*x)1,0(，使得()fx在],0[*x上单调递增，在]1,[*x上单调递减，则称()fx为]1,0[上的单峰函数，*x为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的]1,0[上的单峰函数()fx，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.（1）证明：对任意的21,xx)1,0(，21xx，若)()(21xfxf，则),0(2x为含峰区间；若)()(21xfxf，则)1,(1x为含峰区间；（2）对给定的)5.00(rr，证明：存在21,xx)1,0(，满足rxx212，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于r5.0；6.设关于x的方程0222axx的两根分别为、，函数14)(2xaxxf（1）证明)(xf在区间,上是增函数；（2）当a为何值时，)(xf在区间,上的最大值与最小值之差最小7.已知函数31()(,)3fxxaxbabR在2x处取得的极小值是43.(1)求()fx的单调递增区间；(2)若[4,3]x时，有210()3fxmm恒成立，求实数m的取值范围.8.已知二次函数),,0(1)(2Rbabxaxxf设方程f(x)＝x有两个实数根x1、x2.(Ⅰ)如果4221xx，设函数f(x)的对称轴为x＝x0,求证x0—1;(Ⅱ)如果201x，且f(x)＝x的两实根相差为2，求实数b的取值范围.9.函数)(xf的定义域为R，并满足以下条件：①对任意Rx，有0)(xf；②对任意x、Ry，有yxfxyf)]([)(；③.1)31(f则（1）求)0(f的值；（4分）（2）求证：)(xf在R上是单调增函数；（5分）（3）若acbcba2,0且，求证：).(2)()(bfcfaf10.已知函数14)(234axxxxf在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；（1）求a的值；（2）求证：x=1是该函数的一条对称轴；（3）是否存在实数b，使函数1)(2bxxg的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.11.定义在区间（0，）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x、q,都有)()(xqfxfq.（1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根；（2）若abc1,且a、b、c成等差数列，求证：)()()(2bfcfaf；（3）（本小题只理科做）若f(x)单调递增，且mn0时，有)2(2)()(nmfnfmf，求证：322m12.某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2–10x3(单位：万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位：万元).又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)–f(x).求:（提示：利润=产值–成本）(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？13.已知函数33(1)()xafxax（0a且1a）．(1)试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；(2)已知当0x时，函数在(0,6)上单调递减，在(6,)上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；(3)（理）记(2)中的函数的图像为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．(文)记(2)中的函数的图像为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．14.已知函数()logafxx和()2log(22),(0,1,)agxxtaatR的图象在2x处的切线互相平行.(Ⅰ)求t的值；（Ⅱ）设)()()(xfxgxF，当1,4x时，()2Fx恒成立，求a的取值范围.15.设函数()fx定义在R上，对任意的,mnR，恒有()()()fmnfmfn，且当1x时，()0fx。试解决以下问题：（1）求(1)f的值，并判断()fx的单调性；（2）设集合(,)|()()0,(,)|(2)0,AxyfxyfxyBxyfaxyaR，若AB，求实数a的取值范围；（3）若0ab，满足|()||()|2|()|2abfafbf，求证：322b16.（理科）二次函数f(x)=)(2Rbabaxx、（I）若方程f(x)=0无实数根，求证：b0；（II）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)=)1(412a；（III）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得41)(kf.(文科)已知函数f(x)=cbxax2，其中.,,*ZcNbNa（I）若b2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；（II）若对任意实数x，不等式)1(2)(42xxfx恒成立,且存在)1(2)(0200xxfx使得成立，求c的值。17.定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x、y(-1,1)都有。（I）求证：函数f(x)是奇函数；（II）如果当时，有f(x)0，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；（III）设-1a1，解不等式：18.设)(xf是定义域在]1,1[上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.（l）求证)(xf在]1,1[上是减函数；（ll）如果)(cxf，)(2cxf的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；（lll）证明若21c，则)(cxf，)(2cxf存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.19.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z。（1）若b2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2＋1）恒成立，且存在x0，使得f（x0）2（x02＋1）成立，求c的值。20.（理）已知)0()1()(2≤++=aaxxInxf（1）讨论)(xf的单调性；（2）证明：2),()11()311)(211(*444≥∈+++nNnen其中无理数)71828.2=e.（文）设函数)(31)(23cbacxbxaxxf，其图象在点))(,()),1(,1(mfmBfA处的切线的斜率分别为ao-,.（1）求证：10≤ab；（2）若函数)(xf的递增区间为],[ts，求]-[ts的取值范围.21.设函数)10(3231)(223abxaaxxxf（1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值；（2）当x∈[a+1,a+2]时，不等axf|)(|，求a的取值范围.22.已知函数1xx716x)x(f，函数mxln6)x(g.（1）当1x时，求函数f(x)的最小值；（2）设函数h(x)=(1－x)f(x)+16，试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.23.已知二次函数ttttylcbxaxxf.20(8:,)(212其中直线为常数）；2:2xl.若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；（Ⅲ）若,ln6)(mxxg问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.24.已知()()()fxxxaxb，点A(s,f(s)),B(t,f(t))(I)若1ab,求函数()fx的单调递增区间；(II)若函数()fx的导函数()fx满足：当|x|≤1时，有|()fx|≤23恒成立，求函数()fx的解析表达式；(III)若0ab,函数()fx在xs和xt处取得极值，且23ab,证明：OA与OB不可能垂直.25.已知函数.)(2Rmxxmxf(1)设xxfxgln)()(,当m≥41时,求g(x)在[221,]上的最大值；(2)若),1[)](8[log31在xfy上是单调减函数，求实数m的取值范围.答案：1.解：(1))0(f表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入)0(f=8万元;……………………(2分))0(g表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要回避失败风险,至少要投入)0(g=12万元.……………………………(4分)128xOM(17,25)1a2a2b1b(2)解方程组812xyyx………………(6分)得:x=17,y=25……………(9分)故甲公司至少投入17万元,乙公司至少投入25万元.……(11分)(3)经观察,显见25lim,17limnnnnba.故点M(17,25)是双方在宣传投入上保证自己不失败的一个平衡点.………(16分)2.解：(Ⅰ)∵cbxaxxxf23)(在y轴上的截距是2，∴f(0)=2,∴c=2.1分又)(xf在),2(),1,(上单调递增，（－1，2）上单调递减，023)(2