椭圆典型题型归纳总结

第1页椭圆典型题型归纳题型一.定义及其应用例1：已知一个动圆与圆22:(4)100Cxy相内切，且过点(4,0)A，求这个动圆圆心M的轨迹方程；练习：1.方程2222(3)(3)6xyxy对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D.圆2.方程2222(3)(3)10xyxy对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D.圆3.方程2222(3)(3)10xyxy成立的充要条件是（）A.2212516xyB.221259xyC.2211625xyD.221925xy4.如果方程2222()()1xymxymm表示椭圆，则m的取值范围是5.过椭圆22941xy的一个焦点1F的直线与椭圆相交于,AB两点，则,AB两点与椭圆的另一个焦点2F构成的2ABF的周长等于；6.设圆22(1)25xy的圆心为C，(1,0)A是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为；题型二.椭圆的方程（一）由方程研究曲线例1.方程2211625xy的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P、2(3,2)P，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)且与椭圆229436xy有共同焦点的椭圆方程；（四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC中，,,ABC所对的三边分别为,,abc，且(1,0),(1,0)BC，求满足bac且,,bac成等差数列时顶点A的轨迹；练习：1、动圆P与圆221:(4)81Cxy内切与圆222:(4)1Cxy外切，求动圆圆心的P的轨迹方程。2、已知动圆C过点A(2,0)，且与圆222:(2)64Cxy相内切，则动圆圆心的轨迹方程为；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知x轴上一定点(1,0)A，Q为椭圆2214xy上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程；第2页（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于,AB两点，点P是直线l上满足1PAPB的点，求点P的轨迹方程；（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为(0,50)F的椭圆被直线32yx截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)Pxy和焦点1(,0)cF，2(,0)cF为顶点的12PFF中，12FPF，则当P为短轴端点时最大，且①122PFPFa；②22212122cos4cPFPFPFPF；③12121sin2PFFSPFPF=2tan2b。（b短轴长）例：知椭圆2211625xy上一点P的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F、1F，求1PF、2PF及12cosFPF；练习：1、椭圆22192xy的焦点为1F、2F，点P在椭圆上，若14PF，则2PF；12FPF的大小为；2、P是椭圆221259xy上的一点，1F和2F为左右焦点，若1260FPF。（1）求12FPF的面积；（2）求点P的坐标。题型四.椭圆的几何性质例1.已知P是椭圆22221xyab上的点，的纵坐标为53，1F、2F分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则12PFPF的最大值与最小值之差为例2.椭圆22221xyab(0)ab的四个顶点为,,,ABCD，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.若椭圆22114xyk的离心率为12，则k；第3页例4.若P为椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F为其两个焦点，且01215PFF，02175PFF，则椭圆的离心率为题型五.求范围例1.方程22221(1)xymm焦点在x轴的椭圆，求实数m的取值范围；题型六.求离心率例1.椭圆22221xyab(0)ab的左焦点为1(,0)Fc，(,0)Aa，(0,)Bb是两个顶点，如果1F到直线AB的距离为7b，则椭圆的离心率e例2.若P为椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F为其两个焦点，且12PFF，212PFF，则椭圆的离心率为例3.1F、2F为椭圆的两个焦点，过2F的直线交椭圆于,PQ两点，1PFPQ，且1PFPQ，则椭圆的离心率为；练习1、（2010南京二模）以椭圆22221(0)xyabab的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交于A、B两点，已知OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是；2、已知ABC分别为椭圆22221(0)xyabab的右顶点、上顶点、和左焦点，若090ABC，则该椭圆的离心率为；3、（2012年新课标）设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点,P为直线32ax上一点,21FPF是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为（）A．12B．23C．D．4、椭圆22221xyab(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为______题型七.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1.当m为何值时，直线:lyxm与椭圆22916144xy相切、相交、相离？例2.曲线22222xya（0a）与连结(1,1)A，(2,3)B的线段没有公共点，求a的取值范围。第4页yxOABP例3.过点)0,3(P作直线l与椭圆223412xy相交于,AB两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4.求直线cossin2xy(0)和椭圆2236xy有公共点时，的取值范围（二）弦长问题例1.已知椭圆22212xy，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A的坐标。例2.椭圆221axby与直线1xy相交于,AB两点，C是AB的中点，若22||AB，O为坐标原点，OC的斜率为22，求,ab的值。例3.椭圆1204522yx的焦点分别是1F和2F，过中心O作直线与椭圆交于,AB两点，若2ABF的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆221164xy，过点(2,0)P能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P；例2.已知一直线与椭圆224936xy相交于,AB两点，弦AB的中点坐标为(1,1)M，求直线AB的方程；例3.椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率32e,过点(1,0)C的直线l与椭圆E相交于,AB两点，且C分有向线段AB的比为（1）用直线l的斜率(0)kk表示OAB的面积；（2）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．第5页（四）关于直线对称问题例1.已知椭圆22143xy，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4yxm对称；例2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率322e，试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同两点,AB，且线段AB恰被直线21x平分？若存在，求出直线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。题型八.最值问题例1．若(2,3)P，2F为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求2MPMF的最大值和最小值。结论1：设椭圆12222byax的左右焦点分别为12,FF,00(,)Pxy为椭圆内一点，(,)Mxy为椭圆上任意一点，则2MPMF的最大值为12aPF,最小值为12aPF；例2．(2,6)P,2F为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求2MPMF的最大值和最小值。结论2设椭圆12222byax的左右焦点分别为12,FF，00(,)Pxy为椭圆外一点，(,)Mxy为椭圆上任意一点，则2MPMF的最大值为12aPF，最小值为2PF;2.二次函数法F2F1M1M2第6页例3．求定点(,0)Aa到椭圆12222byax上的点之间的最短距离。结论3：椭圆12222byax上的点(,)Mxy到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法例4．求椭圆14222yx上的点(,)Mxy到直线:24lxy的距离的最值；4.判别式法例4的解决还可以用判别式法结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。题型九.轨迹问题例1．到两定点(2,1)，(2,2)的距离之和为定值5的点的轨迹是例2．已知点(3,0)A，点P在圆221xy的上半圆周上(即y＞0)，∠AOP的平分线交PA于Q，求点Q的轨迹方程。例3.已知圆22:(3)100Cxy及点(3,0)A，P是圆C上任一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。第7页椭圆典型题型归纳题型一.定义及其应用椭圆定义：平面内一动点到两定点1F，2F的距离和等于常数2a（大于12FF=2c）点的集合叫椭圆；即12|2}{MMFMFaP注：当ac时轨迹为椭圆；当ac时轨迹为线段12FF；当ac时无轨迹。例1：已知一个动圆与圆22:(4)100Cxy相内切，且过点(4,0)A，求这个动圆圆心M的轨迹方程；练习：1.方程2222(3)(3)6xyxy对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D.圆2.方程2222(3)(3)10xyxy对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D.圆3.方程2222(3)(3)10xyxy成立的充要条件是（）A.2212516xyB.221259xyC.2211625xyD.221925xy4.如果方程2222()()1xymxymm表示椭圆，则m的取值范围是5.过椭圆22941xy的一个焦点1F的直线与椭圆相交于,AB两点，则,AB两点与椭圆的另一个焦点2F构成的2ABF的周长等于；6.设圆22(1)25xy的圆心为C，(1,0)A是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为；题型二.椭圆的方程（一）由方程研究曲线例1.方程2211625xy的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P、2(3,2)P，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)且与椭圆229436xy有共同焦点的椭圆方程；第8页注：一般地，与椭圆22221xyab共焦点的椭圆可设其方程为222221()xykbakbk；（四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC中，,,ABC所对的三边分别为,,abc，且(1,0),(1,0)BC，求满足bac且,,bac成等差数列时顶点A的轨迹；练习1、动圆P与圆221:(4)81Cxy内切与圆222:(4)1Cxy外切，求动圆圆心的P的轨迹方程。练习2、已知动圆C过点A(2,0)，且与圆222:(2)64Cxy相内切，则动圆圆心的轨迹方程为；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知x轴上一定点(1,0)A，