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２.2矩阵的运算一、矩阵的加法定义2设有两个矩阵，,那么Ａ与Ｂ的和记作Ａ＋Ｂ,规定为.应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算.例1设,,求Ａ＋Ｂ。.解因为Ａ和Ｂ都是矩阵,所以有.矩阵加法满足下列运算规律：（i）;(交换律)（ii）.(结合律)其中Ａ，Ｂ，Ｃ都是矩阵.设矩阵，记：，－Ａ称为Ａ的负矩阵，显然有：.由此规定矩阵的减法为.例2设,,,若Ａ－Ｂ＝Ｃ,求a.b,c,d?解因为Ａ和Ｂ都是矩阵,所以有,由得,即二、数与矩阵相乘定义3数与矩阵Ａ的乘积(简称数乘)记作或，规定为.数乘满足下列运算规律:（i）;（ii）;（iii）其中为矩阵，，为数.矩阵的加法与矩阵的数乘运算统称为矩阵的线性运算.例3设,,解矩阵方程.解由方程Ａ＋２Ｘ＝Ｂ，知,因为,所以.三、矩阵与矩阵相乘1、线性变换在许多问题中，我们会遇到个变量要用另外个变量线性地表示，即（1）其中为常数（）.这种从变量到变量的变换叫做线性变换.线性变换的系数构成的矩阵叫做线性变换(1)的系数矩阵.显然线性变换与它的系数矩阵之间存在着一一对应关系.例4某公司有甲、乙、丙三个连锁店，销售A、B、C、D四种产品，每天的销售量如下表：表2-2单位:件ABCD甲15131617乙14151518丙16151617用分别表示A、B、C、D四种产品的单价，用分别表示甲、乙、丙三个连锁店每天的销售额，产品的单价确定后，通过线性变换（2）可以求出甲、乙、丙三个连锁店每天的销售额.线性变换（2）的系数矩阵为.例5线性变换叫做恒等变换，它的系数矩阵为阶单位阵.设有两个线性变换（3）（4）线性变换（3）的系数矩阵为线性变换（4）的系数矩阵为若想用变量，线性地表示变量，，可将（4）代入（3），得（5）线性变换（5）的系数矩阵为.线性变换（5）可以看作是先作线性变换（4）再作线性变换（3）的结果.我们把线性变换（5）叫做线性变换（3）与（4）的乘积，相反地把(5)所对应的矩阵定义为（3）与（4）所对应的矩阵的乘积，即一般的，我们有定义4设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵Ａ与Ｂ的乘积是一个矩阵，其中（），（6）并把此乘积记作：.特别要注意的是，只有当左边矩阵Ａ的列数与右边矩阵Ｂ的行数相等时，乘机Ｃ＝ＡＢ才有意义.按此定义，一个行矩阵与一个列矩阵的乘积是一个1阶方阵（运算的最终结果是一个1阶方阵时，可以看成一个数）：.由此表明乘积矩阵ＡＢ＝Ｃ的第行第列元素就是Ａ的第行与Ｂ的第列的乘积。定义了矩阵与矩阵相乘，可将线性变换（1）记作，其中，，.同样，可将线性方程组（7）记作，其中，，，矩阵为线性方程组（7）对应的矩阵，例6、求矩阵与的乘积ＡＢ.解因为Ａ是矩阵，Ｂ是矩阵，Ａ的列数等于Ｂ的行数，所以矩阵Ａ与Ｂ可以相乘，其乘积ＡＢ＝Ｃ是一个矩阵.由（6）式有＝＝例7、求矩阵与的乘积ＡＢ及ＢＡ.解由（6）式有，.由例7可知，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，；两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，即不能ＡＢ＝０推出Ａ＝０或Ｂ＝０.如果两个矩阵Ａ与Ｂ相乘，满足ＡＢ＝ＢＡ，则称矩阵Ａ与Ｂ可交换.矩阵的乘法满足下列规律（设下列运算都是可行的）：（i）;（ii）,;（iii）,（其中为数）.对于单位矩阵Ｅ，容易验证，.或简写为：.有了矩阵的乘法，就可以定义阶方阵的幂.设是阶方阵，定义，其中为正整数.这就是说，就是个Ａ连乘.显然只有方阵的幂才有意义.由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律：，，其中，为正整数.特别要注意的是，由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个阶方阵Ａ与Ｂ，一般来说.如果是的次多项式，Ａ为阶方阵，Ｅ为阶单位阵，则称为由多项式形成的矩阵Ａ的多项式，记作.例8设，，求矩阵Ａ的多项式.解因为，所以=.四、矩阵的转置定义5把一个矩阵的行列依次互换得到一个新的矩阵，叫做Ａ的转置矩阵，记作.即设，则.例如矩阵的转置矩阵为.显然，阶方阵Ａ是对称阵的充分必要条件为，阶方阵Ｂ是反对称阵的充分必要条件为.矩阵的转置运算满足下列运算规律（设下列运算都是可行的）：（i）;（ii）;（iii）;（iv）.(i),(ii),(iii)显然成立，下面证明(iv).设，，记，.由（6）式，有，而的第行为的第列的转置，即，的第列为的第行的转置，即，因此，所以（；），即，亦即.例9、已知，，求.解法1因为所以.解法2.五、矩阵分块法对于行数和列数较高的矩阵Ａ，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化为小矩阵的运算。将矩阵Ａ分成若干个小矩阵，每一个小矩阵称为Ａ的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵分成子块的分法很多，下面列举两种分块形式：例如其中，，，.其中，，，，分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似，分别说明如下：（i）设矩阵与是同型矩阵，采用相同的分块法，有其中，与的行数相同，列数相同，那么（ii）设，为数，则（iii）设Ａ为矩阵，Ｂ为矩阵，分块成其中的列数分别等于的行数，那么其中（；）例8、设，求ＡＢ.解把分块成则而，于是.（iv）设矩阵Ａ分块成，则设Ａ为阶方阵，若Ａ的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零阵，且非零子块都为方阵，即，其中（）都是方阵，那么称Ａ为分块对角阵.分块对角阵有下列性质：（1）；（２）若（）可逆，则可逆，且.