2.2.2_椭圆的简单几何性质2

高中数学选修2-1第二章曲线与方程第二课时2.2.2椭圆的简单几何性质1.椭圆的范围、对称性、顶点、离心率222222210,yxababcab范围：－a≤y≤a，－b≤x≤b.对称性：关于x轴、y轴、原点对称.顶点：(0，±a)，(±b,0).离心率：.cea知识回顾2.椭圆离心率的取值范围？离心率变化对椭圆的扁平程度有什么影响？e∈(0，1).e越接近于0，椭圆愈圆；e越接近于1，椭圆愈扁.知识回顾1.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是.23知识巩固A1MB2OF2yx2.如图F2是椭圆的右焦点，MF2垂直于x轴，且B2A1∥MO,求其离心率.1.对于椭圆的原始方程,变形后得到,再变形为.这个方程的几何意义如何？2222()()2xcyxcya+++-+=222()acxaxcy-=-+22ycaaxc+=-2（x-c）新知探究7的轨迹。，求点的距离的比是常数的距离和它到直线与定点点例MxlFyxM54425:)0,4(),(6,54425:dMFMPMxlMd的轨迹就是集合点的距离，根据题意，到直线是点解：设.54425)4(2xyx由此得,22525922yx简，得将上式两边平方，并化192522yx即所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。FlxoyMHd8的距离和它到定直线，与定点若点)0(),(cFyxM思考上面探究问题，并回答下列问题：的距离和它到定直线，与定点）若点（)0(),(3cFyxM的，此时点的距离的比是常数Mcaaccaxl)0(:2？轨迹还是同一个椭圆吗时，对应，定直线改为，）当定点改为（caylcF2:)0(4？的轨迹方程又是怎样呢探究：的轨迹。，求点的距离的比是常数Mcaaccaxl)0(:2（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹（2）给椭圆下一个新的定义9探究、点M（x,y)与定点F（c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c的距离的比是常数c/a（ac0),求点M的轨迹。yFF’lI’xoP={M|}acdMF由此得acxcaycx222将上式两边平方，并化简，得22222222caayaxca设a2-c2=b2,就可化成)0(12222babyax这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a,2b的椭圆M解：设d是M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合10FF’lI’xoy由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。此为椭圆的第二定义.10eace对于椭圆，相应于焦点F（c,0)准线方程是,根据椭圆的对称性，相应于焦点F‘(-c.0)准线方程是,所以椭圆有两条准线。12222byaxcax2cax211椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。定义1图形定义2平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(eace的点的轨迹。)0,()0,(21cFcF、焦点：),0(),0(21cFcF、焦点：cax2准线：cay2准线：、两个定点1F的距离的和2F等于常数（大）的点于21FF的轨迹。平面内与OxyFHMl22ycaaxc+=-2（x-c）椭圆上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的距离与它到直线的距离之比等于离心率.2axc=新知探究2axc=若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.MFHl新知探究动画直线叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(－c，0)的准线方程是2axc=2=-axcOxyF2F12axc=2=-axc新知探究椭圆的准线方程是222210xyabbaxF1F2yO2=ayc2=-ayc新知探究MOxyFl椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是22||abFMccc=-=新知探究17由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：22222(1)1(0)xyaabxabc椭圆的准线方程为222221(0)yxaabyabc椭圆的准线方程为222abcc(2)两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离为(3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，否则其轨迹不存在。(4)椭圆离心率的几何意义：由椭圆的第二定义得，“椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”对于椭圆222210xyabba椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是OMxy最大值为a，最小值为b.新知探究椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？OMxyF新知探究A1F2F1B2B1A2xyOM化为关于x的二次函数的最值问题.|MF2|min=|A2F2|=a-c|MF2|max=|A1F2|=a+c点M在椭圆上运动，当点M在什么位置时，∠F1MF2为最大？F1OF2xyM点M为短轴的端点.新知探究练习：已知F1、F2椭圆的左右焦点，椭圆上存在点M使得MF1⊥MF2,求椭圆的离心率的范围.椭圆上一点M(x0，y0)到左焦点F1(－c，0)和右焦点F2(c，0)的距离分别是F1OF2xyM|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0新知探究N椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆的焦半径公式.|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0新知探究椭圆的焦半径公式是222210yxabab|MF|＝a±ey0xF1F2yOM新知探究26焦半径公式该公式的记忆方法为‘‘左加右减”，即在a与ex0之间，如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用“－”号连接．①焦点在x轴上时：│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；②焦点在y轴上时：│PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。该公式的记忆方法为‘‘下加上减”，即在a与ey0之间，如果是下焦半径则用加号“+’’连接，如果是上焦半径用“－”号连接．焦半径的最大值为：a+c焦半径的最小值为：a-c例1若椭圆上一点P到椭圆左准线的距离为10，求点P到椭圆右焦点的距离.22110036xy12典型例题例2已知椭圆的两条准线方程为y＝±9，离心率为，求此椭圆的标准方程.3119822yx典型例题例3已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，点P为直线x＝3与椭圆的一个交点，若点P到椭圆两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆的方程.22412575xy+=F1OF2xyP典型例题例4已知点M与点F(4，0)的距离和它到直线l：的距离之比等于，求点M的轨迹方程.254x45221259xy+=MOxyFHl典型例题课堂小结1.椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于椭圆的离心率，这是椭圆的一个重要性质，通常将它称为椭圆的第二定义.课堂小结2.一个椭圆有两条准线，并与两个焦点相对应，两条准线在椭圆外部，且与长轴垂直，关于短轴对称.3.椭圆焦半径公式的两种形式与焦点位置有关，可以记忆为“左加右减，下加上减”.课堂小结34变式:1.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.无法确定B35课堂练习1、椭圆上一点到准线与到焦点（-2，0）的距离的比是（）171122yx211x11112)(A211)(B112)(C117)(DB2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是()3A23B33C43DC363.若一个椭圆的离心率e=1/2,准线方程是x=4,对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是____________3x2-8x+4y2=04：已知椭圆P为椭圆在第一象限内的点，它与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标。221,4520xy5:35,25,5,.3abce解0000(,),0,0.Pxyxy设102012,,2.PFaexPFaexFFc12PFPF2221212PFPFFF22200()()4aexaexc222202aexc209x20:16y代入椭圆方程得(3,4)P(3,4)P37思考:椭圆xy22941的焦点为FF12、，点P为其上的动点，当FPF12为钝角时，则点P的横坐标的取值范围是____________.:(,),Pxy解设||1533则：，PFaexx||2533PFaexx||||||cos||||222121212122PFPFFFFPFPFPF()225195299xx12FPF为钝角121cos0，FPF225191052(9)9即xx353555x解之得38法二:(数形结合)以FF12为直径的圆交椭圆于PP12，12，PPPxxx2222125P,P194而的坐标可由xyxy12353555解得，PPxx353555x