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14.2命题与证明（2）八（1）是我家，我爱我家！眼见未必为实！观察,猜想,度量,实验得出的结论未必都正确；一个命题的真假，常常需要进行有根有据的推理才能作出正确的判断，要确定一个命题是真命题，光靠举几个例子是不够的，要对它的正确性进行论证。在论证过程中，必须追本求源，最后，只能确定几个不需要再作论证的，其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题，作为判断其他命题真假的依据.自学内容：课本78页阅读课本思考下列问题•1我们已经学过哪些定义？•2.什么叫基本事实？我们已经学过的基本事实有哪些？•3.什么叫定理？我们已经学过的定理有哪些？•4.什么叫演绎推理？什么叫证明？证明的一般步骤有哪些？证明的依据有哪些？•5.能够写出简单命题的推理过程及依据。定义的概念：能界定某个对象含义的句子叫做定义.举例（1）能够被2整除的数叫做偶数；（2）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形；（3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.问：你还能举出一些例子吗？例如:1、“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义;2、“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点的距离”的定义;3、“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义;4、“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义;5、“从总体中抽取部分个体叫做总体的一个样本”是“样本”的定义；知识连接•人们在长期实践中检验所得的真命题，作为判断其他命题真假的依据，这些作为原始根据的真命题称为基本事实。▲问题1：你能举出几个前面已学过的基本事实吗？如:关于直线：两点确定一条直线.关于平行：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线.关于线段：两点之间，线段最短▲跟同伴交流，回顾我们学过的命题，哪些是定理？▲有些命题，如：“对顶角相等”，“三角形三个内角的和等于180°”等，它们的正确性已经经过推理得到证实，并被作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题称为定理。推理的过程叫做证明.如:平行线判定定理：内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行平行线性质定理：两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.三角形内角和定理：三角形内角和等于180度余角（补角）性质：同角(等角)的余角(或补角)相等例题：1.证明的步骤：（1）________________；（2）________________（3）________________根据题意画出图形；经过分析，找出已知条件推出结论的途径，写出证明过程；根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；2.证明：“内错角相等，两直线平行”。分析:(1)画出图形abc312(2)找出题设：结论：两直线被第三条直线所截，形成的内错角相等这两条直线平行写出已知：求证：如图，直线c与直线a、b相交，且∠1=∠2a∥b（3）写证明过程例题：abc312已知：如图，直线c与直线a、b相交，且∠1=∠2求证：a∥b.证明：∵∠1=∠2，（）又∵∠1=∠3，（）∴∠2=∠3，（）∴a∥b，（）已知对顶角相等等量代换同位角相等，两直线平行想一想：基本事实和定理有什么共同点和不同点？共同点：都是真命题不同点：基本事实的正确性是人们长期实践检验所证实的，不需要证明。定理的正确性是依赖推理证实的.基本事实和定理基本事实：人们从长期的实践中总结出来，作为判断其他命题真假的依据，这些作为原始依据的真命题叫做公理，例如：线段公理：两点之间，线段最短；平行公理：两直线平行，同位角相等.定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的、并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。例如：两直线平行，内错角相等；对顶角相等.基本事实和定理的共同点和不同点：共同点：都是真命题不同点：基本事实的正确性是人们长期实践检验所证实的，定理的正确性是依赖推理证实的.什么叫“演绎推理”？从已知条件出发，根据定义、基本事实、已证定理，并根据逻辑规则，推导出结论的方法叫“演绎推理”。看谁答得快？你知道吗？演绎推理的过程，叫做演绎证明，简称证明。例题1.已知:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,求证:OE⊥OFAOCBEF12当堂检测：1.已知：如图，AB与CD相交于点O，∠1=∠D，∠2=∠C。求证：AD∥BCAOBDC21试一试已知，如图：∠1=∠B，求证：∠2=∠CABCDE12证明：∵∠1=∠B（）∴AE∥BC（）∴∠2=∠C（）已知同位角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等想一想：有没有其他方法？想一想１.如图，已知：AB∥CD，AD∥BC。求证：∠A=∠DABCD２.已知，如图：ＡＢ∥ＣＤ，ＢＥ、ＤＦ分别是∠ＡＢＤ、∠ＣＤＢ的平分线求证：ＢＥ∥ＤＦABCDFE试一试已知，如图，∠1=∠2。求证：AB∥CDABCDEF122.已知，如图O是直线AB上一点，OD，OE平分∠AOC和∠COD。求证：OD⊥OEABOCDE▲通过上述例子，请同学们归纳证明是怎样一个过程，证明过程中，推理的依据有哪些？同伴之间互相交流一下。归纳结果：证明是由条件（已知）出发，经过一步一步的推理,论证，最后,推出结论（求证）正确的过程。证明过程中,推理的依据可以是公基本事实，也可以是定理，定义，已知条件，推论。证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC∴∠3=∠4=90°∴BD//EF∴∠2=∠CBD又∵∠1=∠2∴∠1=∠CBD∴GD//BC∴∠ADG=∠C（已知）（垂直的定义）（同位角相等，两直线平行）（已知）（等量代换）（内错角相等，两直线平行）（两直线平行，内错角相等）证明并写出每一步推理的理由例2：已知：如图,BD⊥AC，EF⊥AC，D，F是垂足，∠1=∠2，求证：∠ADG=∠C（两直线平行，同位角相等）AGBDECF1234练习:1.已知，如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1=∠2求证：∠3=∠4证明:∵AB⊥BF，CD⊥BF∴∠B=∠CDF=90°∴AB//又∵∠1=∠2∴AB//EF∴//∴∠3=∠4已知垂直的性质垂直于同一条直线的两直线平行（已知）（内错角相等，两直线平行）平行于同一直线的两直线平行两直线平行，同位角相等1234ABCDEF（）（）（）（）（）CDCDEF2.如图，DC//AB，DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，求证：∠1=∠2ABCDEF123.请在下列题目证明中的括号内填入适当的理由已知：如图AD=BC，CE∥DF，CE=DF求证：∠E=∠F证明：因为CE∥DF（）∠1=∠2（）在△AFD和△BEC中，因为DF=CE（）∠1=∠2（）AD=BC（）所以△AFD≌△BEC（）所以∠E=∠F（）AFDBEC21练习4：根据下列证明过程填空。已知：如图，∠ADE=∠B∠1=∠2，求证：CD⊥AB证明：∵∠ADE=∠B（）∴DE∥_________()∴∠1=∠3()∴∠1=∠2()∴∠2=∠3()∴GF∥_________()又∵AB⊥FG()∴CD⊥AB()ACFBGDE132你有哪些收获?⑴基本事实和定理的概念及它们的异同.⑵什么叫证明?⑶如何进行推理和表达?布置作业：习题14.2第5~6题