数学构造法的使用

1引语思想是客观存在反映于人的意识中经过思维活动而产生的结果。方法是人们为认识世界和改造世界所进行的活动方式、手段的统称。数学思想方法能使人们领悟数学的价值，懂得思考和解决数学问题的根本途径。因此，研究数学思想方法是我们学习科学和应用科学的有效办法。本文分为两个章节多个小节介绍了构造法的有关知识,第一章主要介绍构造法的相关背景历史。第二章主要介绍的是构造法在数学解题中的应用，本文将通过多个例题阐述如何应用构造法，让大家都了解构造法的神效。关键词：构造法中学数学解题应用2目录第一章构造法的背景和历史………………………1.1构造法的含义与产生………………………1.2构造法的发展………………………第二章构造法在中学解题中的应用2.1构造方程（组）在中学数学解题中的应用…………2.2构造函数在中学数学解题中的应用…………2.3构造数列在中学数学解题中的应用…………2.4构造向量在中学数学解题中的应用…………2.5构造图形在中学数学解题中的应用…………2.6其他构造法在中学数学解题中的应用…………小结………………………………………………………………参考文献…………………………………………………………3第一章构造法的背景和历史1.1构造法的含义与产生昆明到北京，在古代，我们的前辈主要靠骑马，做马车。现今我们有的人会选择乘火车、有的人会选择乘客车、而又得人会选择作飞机。可见在不同的历史时期，都是为了达到同一目的，选择的过程和方法都有着不同。而有一个不可否认的事实是——后期的方式方法总是要比前面的先进和便捷。语音是人类出生就拥有的一项技能，它不过是需要后期的磨练才能表达得清楚和理解。构造法的产生就如同人类自己的语音一样伴随着数学科学的产生而出现。它就像人类语音和昆明到北京的交通工具那样服务着数学中的解题和研究，在数学领域占着一个重要的地位。给数学研究带来绚丽辉煌的一面。什么是构造法呢？所谓构造，就是为达到某一目的，经常会选择某种合理的、让大家能理解的方式去达到目的的途径。数学中的构造法是为了对数学科学的研究和解题方便而应用的一种思想。它能让原来一个复杂的过程简单化。在数学界有许多的数学家都用构造法做过自己研究和解题，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日、柯西等,都用构造法”解决了许多的数学难题。在对构造法的应用过程中,国内外有许多的研究成果。如西方的几何原本和中国的九章算术.我国的构造法主要是注重问题的能行性,它对推动中国数学的发展起到了深远的影响.当今的计算机科学,在很大程度上是靠数学来发展的,而这一过程离不开构造性数学.1.2构造法的发展构造法的发展不是单独的在某个地域，它是在整个地球上不同的国度改进和发挥着作用的。犹如当今的航天事业，它不单在中国发展的很好，在西方国家里有着重要的角色。在早期中国的《九章算术》里就从分的体现出构造法的魅力。而西方数学的《几何原本》就像《九章算术》那样也把它用的出神入化。构造法的发展主要经历了三个重要的阶段。一是直觉数学阶段；二是算法数学阶段；三是现代构造数学阶段。直觉数学阶段的代表人是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性。他这样认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。”与克隆尼克一样，彭加勒坚持“所有的定义和证明都必须是构造性的”。这一4阶段中的主要人物还有海丁和魏尔。他们在数学工作中的基本立场是：第一，认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论。这就是海丁所说的：“数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。”所以他们不允许一般集合论概念进入数学，而将全部数学都归约为自然数算术和一种利用“展形”建造起来的构造性连续统概念的假定。第二，否认传统逻辑的普遍有效性而重建直觉派逻辑。第三，批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”。布劳威创立直觉数学的想法是“解决集合悖论引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除掉，只限于研究那些可以能行的定义或构造的对象”。他丢弃了许多通用的数学术语，引进各种超数学原理方法，从而使得直觉数学难以让人读懂。同时直觉数学绝对排斥非构造性数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性。在这一点上，遭到了绝大多数数学家的反对。所以“对数学家来说，布劳威理论一直是稀奇的古董，而主要为逻辑家们感兴趣”。因而产生了另外几种构造性倾向，不象直觉数学那么走极端，它们的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不象直觉数学那样去向传统的证明规则挑战。其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。1967年，比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。从而构造法已发展到了一定的顶端。第二章构造法在中学数学解题中的应用数学构造法有两类用途：一．用于对经典数学的概念、定理寻找构造性解释。在大多数情况下，猜测经典定理所对应的构造性内容二．用于开发构造性数学的新领域，组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都是构造性数学的新领域，尤其是图论更是构造数学发展的典型领域之一。因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络，程序的框图，分式的表达式等，也都是构造性很强的问题。本章主要叙述构造法在中学数学中的应用，并通过案例说明该方法的作用。2.1构造方程（组）在中学数学解题中的应用5方程是解数学题的一个重要工具,根据数学题设中的量的关系，构造出方程，使原来复杂的数学问题变得直观合理，变得简洁易解。数学题中的有些问题表面上看似乎与方程无关,但通过分析题中的各个量之间的关系就可以构造出方程(主要是一元二次方程)。然后通过方程中的判别式和韦达定理来巧解数学问题。下面通过实例来见证构造方程的巧妙解题。例1:已知x=)20132013(4111nn(n为整数），求nxx)412(2的值。分析：遇到求这样看似复杂的代数是的值，首先得看清已知条件是什么，通过已知条件看采用怎样的方式去解容易。就本题来说，待求代数是比较复杂，有根式和幂。要是我们通过直接把已知条件代入式子是很难求出值。而仔细观擦我们就能发现n12013与n12013是成倒数关系。而代数式的括号部分看着就很像我们求一元二次方程的求根公式的右边部分。如果我们设a=n12013,b=-n12013那么就有x=)(41ba。即有a+b=4x,a*b=-1,根据韦达定理不难发现a与b就可以看为时一元二次方程0142xtt的两个根。用求根公式就能发现所求代数式与该方程之间的关系。解：设a=n12013,b=-n12013则x=)(41ba。即有a+b=4x,a*b=-1,故a,b是方程0142xtt的两个实数根。现求得2241224164xxxxt，而ab,所以a=2412xxt.则nxx)412(2=na=（n12013）n=2013。例2：求50sin10sin70cos20sin的值。分析:看本题如果直接求解是算不出来的，对于三角函数式的化简求值，我们最熟悉的就是和差角公式，所求式子与和差角公式结构一致，故我们尽量构造和差角公式。解：令50sin10sin70cos20sinx，50cos10cos70sin20cosy。则)50cos10cos70sin20(cos)50sin10sin70cos20(sinyx)50cos10cos50sin10(sin)70sin20cos70cos20(sin640cos140cos90sin……………①)50cos10cos70sin20(cos)50sin10sin70cos20(sinyx)50sin10sin50cos10(cos)70sin20cos70cos20(sin40cos2160cos50sin……………………②由①+②得：212x，故41x所以，4150sin10sin70cos20sin例3：求1127722xxxxy的最大值分析；这样的题型如果按找一般的方法去找y的最值，我们是很难找到的，因为x的取值范围是整个实数部分，要取哪个值才能使得y的值取到最值我们便不知道，也难也找出来。因此我们一般就会利用构造方程的方法来求出结论。如该题我们只要把它看成是关于x的一元二次方程就轻易解出此题。解：因为012xx，故构造关于x的一元二次方程0)12()7()7(2yxyxy，由题意得：0)12)(7(4)7(2yyy又因为711277722xxxxy=1)777(12771127722222xxxxxxxxxx=152xx0所以（y-7)-4（y-12)0解得341y，因而y取得最大值341。例4：已知8,0xyzzyx，求z的取值范围分析：根据韦达定理不难发现，题设中所给的条件都有加与积的形式，我们只要把z看微常数就可得x,y是关于某个一元二次方程的两个实根。解：由已知得x+y=-z,zxy8.故x,y是方程082zztt（z看微常数）的两个实数根。7所以0842zz，解得0z或342z。2.2构造函数在中学数学解题中的应用函数是数学中的常量与变量之间的关系桥梁，通过构造函数，能解决很多数学命题中繁冗复杂的问题。本节就如何构造函数解决一些数学难题加以阐释。我们现在就来看看相关的例题，通过例题学习构造函数解数学难题。例1已知1a、1b、1c,求证:2abcabc.分析首先将不等式化为20abcabc并整理为(1)20bcabc可将其看成是关于a的一次式。证明:构造函数()(1)2fxbcxbc,这里1b、1c、1x,则1bc。因为(1)12(1)(1)(1)0fbcbcbcbc(1)12(1)(1)0fbcbcbc所以,一次函数()(1)2fxbcxbc,当(1,1)x时,图象在x轴的上方.这就是说,当1a、1b、1c时,有(1)20bcabc,即2abcabc。例2：学校组织学生到距离学校6km的海洋科技馆参观，小亮因有事没能乘上学校的包车，于是他准备在学校门口乘出租车去。出租车的收费标准是：行驶里程不超过3km，收费8元；超过3km，每增加1km，加收1．8元。小亮只有14元钱，他乘出租车到海洋科技馆，车费够不够？分析；通过读题知道，小明所花的费用与乘车的里程数有关，因此不妨构造一个路程与费用的函数式出来，就能轻易的知道他的钱能否够乘车用。解：设小明所花车费记为y元，乘车路程记作xkm.由题意可以构建函数式y=8+1.8（x-3）=8+1.8x-5.4=1.8x+2．6（其中x3)现在把x=6带入上式解得y=13.414因此小明带着的钱够他乘出租车到海洋科技馆。例3：比较275和27)2.5(的大小。分析：275和27)2.5(都可以看成是27xy的两个函数值，因此可以利用幂函数的单调性进行比较。8解：设幂函数27xy，因为027，所以函数27xy在),0(上是减函数，又因为55.2，故27527)2.5(例4：证明当x-1时，xxx)1ln(111恒成立。分析：在证明不等式时候，通常的做法就是把不等式的两边中的一边转换到另一边去，即是的某一边的值为零。在经过函数的单调性来证明不等式在什么范围都满足怎样的关系进而证明命题。如本题我们通过建立两个函数就能解决该命题证明。解：根据命题，构造第一函数为111)1ln()(xxxg，对g(x)求导得22)1()1(111)(xxxxxg，当)0,1(