第10章应力状态和强度理论

第10章应力状态分析和强度理论§10-1概述§10-2平面应力状态分析§10-4三向应力状态§10-5强度理论及其应用§10-3平面应力状态下的胡克定律§10-1概述一，一点处的应力状态例轴向拉压杆，当求杆内任一点的应力时，若用不同方位的截面截取，其应力是不同的。FFAFFAAF1横截面m—m上A点的应力为：AF1FAmmFFAmmnnFA斜截面n—n上A点的应力为：cossin例：圆轴扭转任一点应力。MeMe横截面只有切应力ITP在斜截面上即有正应力，又有切应力。例,平面弯曲KFKKKKbISFIMyzzSzK*,KK一点处的应力状态:受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。研究一点处位于各个截面上应力情况及其变化规律.二，应力状态的研究方法应力状态是通过单元体来研究的研究受力构件中某点的应力状态时，就围绕该点截取一单元体，通过单元体来研究过该点的各个截面上的应力及其变化规律。单元体是微小六面体1，轴向拉压FF横截面MeMe2，扭转横截面ττ3，弯曲Fnnττ受力构件内应力的特征（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；（2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的；（3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。单元体特征（1）单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；（2）任意一对平行平面上的应力相等。三、应力状态的分类1,有一对面上总是没有应力者，称为平面应力状态2,所有面上均有应力者，称为空间应力状态xybacdxτy§10-2平面应力状态分析xxyy平面应力状态的普遍形式如图所示,单元体上有x,x和y,y。bacdxτyxxyybacdxyxτybacdxyxτy一、斜截面上的应力fednxxxyy1，截面法：假想地沿斜截面ef将单元体截分为二,留下左边部分的单体元edf作为研究对象。efbacdxyxτyfednxxxyyef（1）:逆时针转向为正，反之为负。（2）正应力:拉应力为正，压应力为负。（3）切应力:对单元体任一点的矩，顺时针转为正，反之为负。规定的符号(+)(-)(+)(+)(+)设斜截面的面积为dA,ed的面积为dAcos,df的面积为dAsin。cosdAxcosdAxsindAydAdAsindAyxxyyTfedfedcosdAxcosdAxsindAydAdAsindAyxxyyTfedfed2、任一斜截面(截面)上的应力,的计算公式对研究对象列n和t方向的平衡方程并解之得：ncosdAxcosdAxsindAydAdAsindAyxxyyTfedfedn2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx例10-1试求图示应力状态下斜截面上的应力，并取分离体示出求得的该面上应力。应力单位:MPa4010020300401002030,40,20,1000MPaMPaMPaxyx解：30030,40,20,1000MPaMPaMPaxyx40100203002sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyxMPa0.72)60cos()40()60sin(2)20(10000300MPa4.35)60sin()40()60cos(2)20(1002)20(100003004010020300ab1004020ab35.4MPa72.0MPaa2010040b72.0MPa35.4MPa二，主应力和主平面2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx1，主应力当某截面上的切应力等于零时，该截面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力02cos2sin200xyx设主平面的方位角为0，令切应力等于零2，主平面的位置yxxtan2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyxyxxtan说明存在两个主平面，它们互相垂直。所以主应力也有两个，两者方向也互相垂直。平面应力状态下，任一点处一般存在两个不为零的主应力。可以证明，受力物体内必有三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于平面应力状态，还有一个作用在于xy面垂直方向，数值为零的主应力。一点的三个主应力按代数值的大小顺次标为：1，2，3即：平面应力状态可定义为两个主应力不等于零的应力状态3，平面应力状态下主应力的计算22)2(2xyxyx21}上式中将两个主应力标为1，2只是作为示意，在每一个具体情况下应根据它们以及数值为零的那个主应力按代数值来标示。例：x=40MPa，y=-20MPa，x=40MPa按上式求得两个主应力值为1=60MPa，3=-40MPa，而2=0。0]2cos2sin2[2xyxdd2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx4，主应力值的特点求正应力的极值正应力达到极值的面上，切应力必等于零。此平面为主平面。正应力的极值为主应力值。任一点的主应力值是过该点的各截面上正应力中的极值，一个是极大值，一个是极小值。三，极值切应力2cos2sin2xyx求切应力的极值02sin22cos2211xyxdd22tan1xyx231max切应力的极值最大切应力作用在于主平面成的450斜截面上。结论（1）切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。（2）平面应力状态下，任一点处一般均存在一对不为零的主应力，两主应力的所在截面相差900。（3）任一点的主应力值是过该点的垂直于纸面各截面中的极值。例题：试求图示应力状态下的主应力值，用图示标出不等于零的两个主应力的作用面。4010020401002022)2(2xyxyx21}1.7240)40(]2)20(100[2)20(100)2(22222xyxyxMPaMPa1.32,0,1.1123214010020MPaMPa1.32,0,1.112321yxxtan67.0)20(100)40(2220yxxtg8.16004010020MPaMPa1.32,0,1.1123218.1600013（1）若xy，（1在900范围内取值）则1450(2)若xy，则1450(3)若x=y，则{x0，1=-450x0，1=450§10-3平面应力状态下的胡克定律bacdxyxτy一，平面应力状态下的胡克定律当变形微小时,线应变x,y都只与该点处的正应力x,y有关,而切应力x，y无关。拉，压胡克定律（复习）EEvyxExxExxExxybacdxyxτyxyxyzxyExxExyExzEyyEyxEyzExxExyExzEyyEyxEyzxyxτy平面应力状态下的胡克定律)(1yxxE)(1xyyE)(yxzEGxxyxyxτy平面应力状态下胡克定律的另一种表示)(12yxxE)(12xyyE0zxyxG)(1yxxE)(1xyyE)(yxzEGxxy例10-2对于物体内处于平面应力状态的一个点，已测得沿x，y及450方向的线应变x，y及450，试求该点处的x，y及x。解：)(12yxxE)(12xyyE)(E)(12yxxE)(12xyyE290sin90cos2200450xyxxyxyx2)90(sin)90cos(2200450xyxxyxyx)(E)2()2(1)(1454545000xyxxyxEE)2(1450yxxE221133§10—4三向应力状态一、三向应力状态胡克定律首先计算1,2,3同时存在时，沿1方向的线应变。用叠加原理，分别计算出1,2,3分别单独存在时,沿1方向的线应变，然后代数相加。EE1单独存在时，沿1方向的线应变E112单独存在时，沿1方向的线应变E211122333单独存在时，沿1方向的线应变E31E所以1，2，3同时存在时，沿1方向的线应变为)]([13213211111EEEE221133EE21E31)]([13211E221133)]([13122E)]([12133E二，体应变体应变指材料体积的相对改变VVa3a1a2123a3a1a2123VV设变形前单元体的棱边尺寸为a1，a2，a3变形前的体积为aaaV321设变形后单元体的棱边尺寸为a1(1+1)，a2(1+2)，a3(1+3)变形后的体积为)1()1()1(332211aaaVa3a1a2123VVaaaV321)()()()(aaaaaaV略去高阶微量)1(321321aaaVa3a1a2123VVaaaV321)1(321321aaaV321VVVVV)(21321E体积应变只与三个主应力之和有关，而与它们之比无关。三，应变能密度1，定义：单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度2、计算公式拉压杆在线弹性范围内工作时的应变能密度为EE三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为)()(32121Ev两单元体的体应变相等123(a)m)(321m31m(b)m1m2m3(c)A与BC体应变为零用表示单元体体积改变相应的应变能密度，称为体积改变能密度。V用表示与单元体形状改变相应的应变能密度,称为形状改变能密度d应变能密度等于两部分之和dV][maxmaxWMzAFNmaxmax轴向拉、压§10–5强度理论及其应用一,强度理论的概念正应力强度条件弯曲