11频域分析

随机信号分析中国民航大学电子信息工程学院焦卫东随机过程的时域分析平稳过程两个随机过程复过程随机过程的微积分各态历经过程高斯过程随机过程的频域分析功率谱密度维纳-辛钦定理互谱密度白噪声实随机过程的功率谱密度确定信号的频谱1、s(t)满足狄利克雷条件，即处处连续，只有有限个极值点和有限个第一类间段点。dtts2|)(|dtts|)(|2、或“非周期”信号s(t)，其傅立叶变换存在的条件：绝对可积信号的总能量有限1()()[()]1()()[()]2jtjtSstedtFststSedFS正变换反变换S(ω)称为信号s(t)的频谱，反映了s(t)中各种频率成分的分布。帕赛瓦尔定理221[()]|()|2stdtSd证明：21[()]()()2jtstdtstSeddt反变换代入1()()2jtSstedtd交换积分次序正变换性质211()()|()|22SSddtSd1()()2SSddt能量谱密度随机过程的频谱()kxtdt2()kxtdt随机过程样本函数持续的时间是无限的（t→∞），则有样本函数的频谱不存在。所以随机过程的频谱不存在。能量在频域上的分布(能量谱)不存在，能量谱不存在。21lim()2TkTTxtdtT随机过程X(t)的平均功率是有限的一般很少满足非绝对可积随机过程X(t)是能量无限信号平均功率是有限的，可以讨论X(t)平均功率在频域上分布。功率谱截取函数()()TkTkTTxtdtxtdt(),||()0,||kkTxttTxttT对随机过程的样本函数作些限制后，其傅立叶变换存在。最简单的是应用截取函数，如图所示：()kxt中任意截取长为2T的一段()kxt其傅立叶变换存在。()kTxtTTot当T为有限值时，截取函数满足绝对可积条件()kTxt①样本函数的平均功率2221()()()2TkTkkTTxtdtxtdtd－－X2211lim()lim()24TkkTTTkTxtdtdTTP－X()kTxt截取函数的频谱函数若代表一噪声电压（或电流），则表示噪声的一个样本在时间（-T,T）内消耗在1欧姆电阻上的总能量。2()TkTxtdt－()kxt表示样本函数消耗在1欧姆电阻上的平均功率。kP()kxt())()(jtkTkkTTxtxtedt－X存在傅立叶变换对：由帕赛瓦尔定理，存在如下关系若对此总能量在(-T,T)上求时间平均，并求极限②③实随机过程的平均功率k某次结果()kxt样本函数()kTxt截取函数kP平均功率12{,,,}mPPPP所有样本函数平均功率的总体为随机变量2211lim()lim()24TTTTTXtdPtXdTT－随机过程截取函数的频谱P对随机变量求数学期望2211lim[()]lim[()]24[]TTTTTEXtdtEXdTTEPP－随机过程X(t)的平均功率④⑤实随机过程的功率谱密度称为随机过程X(t)的功率谱密度。表示随机过程在不同频率上的单位频带内，消耗在单位电阻上的平均功率。()XG为了描述随机过程X(t)的平均功率在各个频率上的分布状况，定义21()lim[()]2XTTGEXT211lim[()]()42TXTEXdGdTP功率谱密度的定义21()lim()2kkTTGTX样本函数的功率谱密度思路总结①样本函数的截取函数，它存在傅立叶变换。②样本函数的截取函数的总能量③样本函数的截取函数的平均功率()kTxt()kTX2()kTxtdt－KP④样本函数的截取函数的平均功率序列12{,,,}mPPPP⑤[]EPP定义随机过程的平均功率⑥1()2XGdP定义随机过程的功率谱密度平稳过程和各态历经过程2221[]lim[()][()](0)()(0)2[]TTTEPEXtdtEXtRRTEXtP－平稳过程22()(),()aekkPXtxtP随机变量常数平均功率与其样本函数的平均功率以概率1相等。一个样本提取整个过程()[]aekkEPEPPP,aeXXkkEGEGGG各态历经过程功率谱密度与其样本函数的功率谱密度以概率1相等。功率谱密度的性质非负性实函数偶函数可积性有理函数形式21()lim[()]02XTTGEXT**1lim()()21lim()()2XTTTTTXTGEXXTEXXGT平稳过程21[()]2XPEXtGd2222200222220mmmXnnnaaGGbb00Gnm，，实轴无极点维纳—辛钦定理实平稳过程的自相关函数和功率谱密度构成一对傅立叶变换。1()FXXFRG定理内容00()2()cos()()1()()cosXXXXXXGRdRGRGd，是偶函数1()()()1()()()2jXXXjXXXGRedFRRGedFG维纳—辛钦定理P127-128推广0()()cos(XtCYtat常随机过程（）或）（数周期信号）222()[()()][]()XXREXtXtECCRdCd时域不满足绝对可积条件，傅立叶变换不存在，限制了定理的应用。2200()cos()cos22YYaaRRdd0引入函数112举例（维纳-辛钦定理）1、已知平稳过程的自相关函数，求其功率谱密度？200()()cos()2XYaReRa，，，为常数2、已知平稳过程的功率谱密度，求其自相关函数？4211(),()320aXYGGelse22||2aaeta物理谱密度22((),0()(0))0,XXXGGFU由于实际应用中，负频率不存在，所以定义一个仅在正频率上存在的物理功率谱密度。()XF)(XG01(0)()2XXPRFd01()()2jXXRFed00()2()cos()()1()()cosXXXXXXGRdRGRGd，是偶函数两个实随机过程的互谱密度互谱密度的定义()()XtYt定义实平稳随机过程和的互平均功率1lim([())])(2TTTXYEXYTG11lim[()()]lim[()()]241()2TTTTTTXYXYEXtYtdtEXYdTTGdP互功率谱密度定义（互谱密度）1lim[()(2))](YXTTTETGYX随机过程截取函数的频谱*()()XYYXGG维纳-辛钦定理（互谱密度）1((),())()FXYXYFRGXtYt联合平稳：24()()()()9())(()()XXYXYXtYtXtXtYtGRG习题3-10：平稳可导，，功率谱密度为和联合明和平稳；求证？()()()()XXXYXYGRRG思路：()YXG思考：？互谱密度的性质)()()(YXYXXYGGG1、非偶复函数2、实部为偶函数，虚部为奇函数()()()XYGajb11()()()()()()22XYXYXYXYaGGGGa利用性质13、正交()()0()()0XYYXXYYXRRGG4、不相关()()()()2()XYYXXYXYYXXYRRmmGGmm随机过程的频域分析功率谱密度维纳-辛钦定理互谱密度白噪声习题必做题3-43-73-93-17选做题3-13-11两人骑一匹马，总有一个坐在后面。