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山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第9课时函数与方程山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第9课时函数与方程双基研习•面对高考山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回1．函数的零点(1)函数零点的定义如果函数y＝f(x)在实数a处的值______，即______,则a叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(a,0)点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有_______f(x)＝0x轴零点．双基研习•面对高考基础梳理等于零山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回思考感悟1．是否任意函数都有零点？提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__________，那么函数y＝f(x)在区间_________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_______，这个__也就是f(x)＝0的根．f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回思考感悟2．在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点_______，______(x1,0)或(x2,0)无交点零点个数两个一个零个(x1,0)(x2,0)山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回3．用二分法求函数y＝f(x)零点近似值的步骤第一步：确定区间[a，b]，验证_________；第二步：求区间[a，b]的中点x1；第三步：计算f(x1)和f(a)，并判断：①若_______，则x1就是函数的零点；②若_________，则令b＝x1(此时零点x0∈[a，x1])；③若_________，则令a＝x1(此时零点x0∈[x1，b])；第四步：判断是否达到精确度，否则重复第二、三、四步．f(a)f(b)0f(x1)＝0f(a)f(x1)0f(a)f(x1)0山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回1．(教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A．①②B．①③C．①④D．③④答案：B课前热身山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回2．函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是()A．0B．1C．0和1D．(0,0)和(1,0)答案：C山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根所在区间为()A．(1.25,1.5)B．(1,1.25)C．(1.5,2)D．不能确定答案：A山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回4．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点是1，则f(－1)＝________.答案：10山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回5．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案：a＞1山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回考点探究•挑战高考考点突破函数零点的求解与判断判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回判断函数f(x)＝4x＋x2－23x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．【思路分析】借助函数零点存在性定理和函数在[－1,1]上的单调性来判断．例1山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【解】∵f(－1)＝－4＋1＋23＝－730，f(1)＝4＋1－23＝1330，∴f(x)在区间[－1,1]上有零点．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝92－2(x－12)2，当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤92，∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数，∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【规律小结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回解：∵f′(x)＝4＋2x－2x2，令f′(x)＝0，∴x＝2，－1.∴x＝2是f(x)的极大值点．x＝－1是f(x)的极小值点，又f(2)＝203＞0，f(－1)＝－73＜0，∴f(x)有三个零点．互动探究1若例1中x的范围改为R，试回答原来问题．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回二分法求方程的近似解用二分法求函数零点近似值的步骤，可借助于计算器一步步地求解，也可以借助于表格或数轴逐步缩小零点所在的区间，而运算终止的条件是区间长度小于精确度ε.山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.1)．【思路分析】依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤．例2山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【解】由于f(1)＝1－1－1＝－10，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.8750，∴f(x)在区间[1,1.5]上存在零点．取区间(1，1.5)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：中点的值中点函数值符号零点所在区间区间长度(1,1.5)0.51.25f(1.25)0(1.25,1.5)0.251.375f(1.375)0(1.25,1.375)0.1251.3125f(1.3125)0(1.3125,1.375)0.0625山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回∵|1.375－1.3125|＝0.06250.1，∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125，1.375]内，故函数零点的近似值为1.3125.【方法指导】求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度ε，当区间长度小于精确度ε时，运算即告结束，此时区间内的任何一个值均符合要求，而我们通常取区间的一个端点值作为近似解．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回函数零点的综合应用函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想，函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，然后通过方程进行研究．许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，函数与方程的思想是中学数学的基本思想．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．【思路分析】可把函数转化为方程，其方程的两根满足x11，x21，利用(x1－1)(x2－1)0求解；也可利用图象求解．例3山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【解】法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x1－1)(x2－1)0，∴x1x2－(x1＋x2)＋10，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋10，即a2＋a－20，∴－2a1.法二：函数图象大致如图，则有f(1)0，即1＋(a2－1)＋a－20，∴－2a1.山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【方法指导】此类方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想，利用根与系数的关系；二是函数思想，构造二次函数利用其图象分析，从而求解．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回互动探究2若本例中函数不变，后面的内容改为：一个零点在0与1之间，另一个零点在1与2之间，求实数a的范围，应如何求解？山东水浒书业有限公司·