同济版高等数学(上)期末复习

机动目录上页下页返回结束函数与极限第一章)(xfyyxoD一、函数1.函数的概念定义:定义域值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:机动目录上页下页返回结束函数的两要素:定义域和对应法则2.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射DDff)(:14.复合函数给定函数链则复合函数为])([:DgfDgf5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.机动目录上页下页返回结束二、极限1.极限定义的等价形式(以为例)0xx(即为无穷小)Axf)(机动目录上页下页返回结束2.极限运算法则3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:4.极限存在准则及两个重要极限6.判断极限不存在的方法机动目录上页下页返回结束5.求极限的基本方法三、连续与间断1.函数连续的等价形式)()(lim00xfxfxx)()(,000xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000xfxfxf2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动目录上页下页返回结束有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.四、闭区间上连续函数的性质.4)2ln(1:12的定义域求函数xxy].2,1()1,2(,0412022xxx解:定义域为：.20111xxxxcossin1lim.20机动目录上页下页返回结束xxxxxxcossin1)cossin1(lim0xxxxxxxx20)cos1(sincossin1limxxxxcossin1lim01212)1331(lim)1323(limxxxxxxx解：31)(23131)11(limxxx.2e12)1323(limxxxx求3.)1sin31(lim.420xxxxx机动目录上页下页返回结束0)31(lim10xxxxxx3130)]3(1[lim.3e第十节目录上页下页返回结束第十节目录上页下页返回结束第二章机动目录上页下页返回结束导数与微分一、导数和微分的概念及应用•导数:当时,为右导数当时,为左导数•微分:机动目录上页下页返回结束•关系:可导可微•应用:(1)利用导数定义解决的问题(3)微分在近似计算的应用(2)用导数定义求极限1)推出四个最基本的导数公式及求导法则xxaaanxxCxxnncos)(sin;ln)(;)(;0)(1其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.机动目录上页下页返回结束二、导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)(5)高阶导数的求法逐次求导机动目录上页下页返回结束1.设求解:xcos1)sin(xxtan机动目录上页下页返回结束.,2ln3.21arctandyyx求机动目录上页下页返回结束dxxdyx1arctan313ln2)1()1(113ln3221arctanxxyx机动目录上页下页返回结束yy1xsinlnxxxsincos)cotsinln()(sinxxxxyx机动目录上页下页返回结束)2()(22xxxeexf)21(2xex)2()21(2)(22xxexexf.)1(42xex).(,)(.42xfxexfx求5.设方程解:方程两边对x求导,得021)(yyyxyexy机动目录上页下页返回结束xyxyxeyyey210)()22)(cos(22yxyyyxyx解：机动目录上页下页返回结束.),(2)sin(.622yxfyxyyx求确定函数方程.)cos(2)cos(22222yxyxyyxxy7.设由方程teytexttcossin确定函数,)(xyy求解:xydd机动目录上页下页返回结束)()(txtytetetetettttcossin)sin(costtttcossinsincos212323213dxdyt时，当.23机动目录上页下页返回结束微分中值定理与导数的应用第三章1.微分中值定理的条件、结论及关系2.微分中值定理的应用(3)证明恒等式(2)证明不等式(1)验证有关中值问题的结论机动目录上页下页返回结束一、微分中值定理及其应用二、导数应用３.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线４.解决最值问题•目标函数的建立与简化•最值的判别问题机动目录上页下页返回结束1.洛必达法则２.泰勒公式（P138)５．曲率1.机动目录上页下页返回结束.02．解:原式1000lnlimxxx100lim1000xx10101001limxxx机动目录上页下页返回结束.233．解:原式4.求函数的单调区间、凹凸解:0)1)(3(963)(2xxxxxf得.1,321xxx)(xf)(xf0311517)1,()3,1(),3(是单调增加区间,减少区间,其极大值极小值机动目录上页下页返回结束是单调区间、极值和拐点.963)(2xxxf得.1xx)(xf)(xf11)1,(),1(机动目录上页下页返回结束066)(xxf凸凹5.求.1122的水平和垂直渐近线xxeey解:;111lim22xxxee2211lim0xxxee机动目录上页下页返回结束.1y水平渐近线为.0x垂直渐近线机动目录上页下页返回结束.12矩形的最大面积轴所围区域内的与求内接于抛物线xxy则设第一象限的交点为解),1,(:2xx6．0622xS令.93432332s矩形的最大面积为33x则机动目录上页下页返回结束7.某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？rVrrhrS2π2π2π22202π42rVrS3π2Vr3π4Vh3π2V3π4V解：设容器的底半径为r,，高为h得唯一驻点时可使用料最省.即当容器的底半径与高分别为与8..11(2ln1恒成立）时，不等式证明：当xxxx11(2ln)(xxxxf）证：设2)1(221)(xxxf则22)1()1(xxx,0)(1xfx时，当上单调增加，，在区间1)(xf,0)1()(1fxfx时，当.11(2ln1xxxx）时，当9..]0[sin上的最大曲率，在区间求正弦函数xyxyxysin,cos解：xxxxxK0,)cos1(sin)cos1(sin232232.12取得最大曲率在x第四章一、求不定积分的基本方法机动目录上页下页返回结束二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法第一类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:))(tx机动目录上页下页返回结束3.分部积分法vuvud一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,uvd机动目录上页下页返回结束第五章一、定积分概念与性质机动目录上页下页返回结束二、微积分基本定理定积分三、定积分的换元积分法一、定积分概念与性质1、用定积分性质估值、比较大小2、与变限积分有关的问题机动目录上页下页返回结束二、微积分基本定理)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼兹公式)三、定积分的换元积分法)(t)(tabdxxx1.12机动目录上页下页返回结束dxxx1112dxxdxx11)1(Cxxx1ln22机动目录上页下页返回结束xxxd)1(.22)d(1)1(22xxCx3)(132xxxd)1(2解：dxex211.3机动目录上页下页返回结束tdtdxtxtx2,1,12解：令tdtet210原式102ttdedtetett101022.22210teedxxx0sin2.4机动目录上页下页返回结束xdxcos2:0原式解0cos2xx2cos0xdx20sin21x.25.解:.cos332xx原式机动目录上页下页返回结束dxx121.6机动目录上页下页返回结束11x.1解：原式dxxx022)1(.7机动目录上页下页返回结束021121x.210222)1()1(21xxd解：原式第六章一、定积分的元素法机动目录上页下页返回结束二、定积分在几何学上的应用定积分的应用三、定积分在物理学上的应用1.平面图形面积参数方程直角坐标方程21d)()(tttttA2.旋转体体积绕x轴:绕y轴:2)]([xfxdbaV2)]([yyddcVxxfxfAbad)()(21yyfyfAdcd)()(21极坐标方程d)(212A3.曲线弧长直角坐标方程:xxfsbad)(12机动目录上页下页返回结束参数方程:tttsd)()(22极坐标方程:d)()(22s1.求由曲线所围平面图形的面积.解:由得交点)1,1(,)0,0(dxxx)]([23110A机动目录上页下页返回结束2.求由所围平面图形的面积.xxxd12.2ln22141A机动目录上页下页返回结束解:由得交点)1,1(轴所围成图形绕与求抛物线xxyxy22.3.旋转所成立体的体积001122xyxyxyxy或解：dxyyV)(102221dxxx)(104.103]52[105102xxxxy2oy)1,1(2xy5.求曲线解:xysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动目录上页下页返回结束