同济版高等数学上册复习资料2

第二部分高数方法综述题型：选择题、填空题、是非题优点：容量大、覆盖广、解法活、省时间、评分准缺点：易猜解、易作弊、丢分重(P.482-492例1,3P.500-508题1-18;36-50)标准化试题分析与解答方法1、选择题结构：题干+备选结论解法:(P.483)（1）推算对照法（2）代入验证法（3）剔除筛选法（4）推理分析法（5）直观分析法单项选择多项选择1）已知xxxf11，则有xxfxfBxfxfA11)()()(2)2()()(1)(xfxfCxxffD)]([)(提示：利用1)0(f及可剔除（B）、（C）、（D）.0)1(fA(P.482例1(1))实例分析2)设)(xf为奇函数,)(xg为偶函数,且他们可以构成复合函数(A),(B),(C),(D),则其中为奇函数的是)]([)(;)]([)(xgfBxffA提示:利用定义)]([)(;)]([)(xggDxfgC)]([xff)]([xff)]([xff或用剔除法.A3)函数)1(2sin2xxy的值域是;],[)(;]1,1[)(2222BA提示:问题归结为求],[)(;]1,0[)(2121DC21xxu的值域.B,212xx211212xx4)设0x时,;2)(;)(;4)(;5)(25DCBA提示:Axxxee2cos与nx是同阶无穷小,则n为xxxee2cos1)1(cos2xxxee当0x时,1)1(cos2xxe)1(cos2xx～24xx～5)设)(xf其中g(x)是(A)极限不存在;D0,cos1xxx0,)(2xxgx有界函数,则f(x)在x=0处(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导;(D)可导.提示:因0x时,xcos1～221x,显然)(xf在x=0连续.)0(f又0limxxxfx)(0lim0limx0)0(f0)0()(0limxfxfxxxfx)(0limxxgxx)(02lim)(lim0xgxx00)0()(xfxf0limxxcos123x23221xx6)若0)(6sinlim30xxfxxx,则20)(6limxxfx(A)0;(B)6;(C)36;(D)提示:已知)(6sinxfxx,)(3xo即)(6sin)(3xoxxfx20)(6limxxfx30)(6limxxfxxx330)(6sin6limxxoxxx2036cos66limxxxxcos1～221x202limxx221)6(x36C|,|3)(23xxxxf则使)0()(nf（A）0（B）1（C）2（D）3提示：0,40,2)(33xxxxxf存在的nC0,120,6)(22xxxxxf0,240,12)(xxxxxf0,240,12)(xxxf(P.484例1(2))最多为7)设,1||)(lim,0)0(,)(02xxffCxfx0)(xfBxoy提示:(P.484例1(3))8)设则由极限的保号性可知在点x=0近旁(A)f(0)为极大值;(B)f(0)为极小值;(C)(0,f(0)为拐点;(D)前三项都不对.9)设)(xfy二阶可导,且,0)(,0)(xfxf令,)()(xfxxfy当0x时,有;0d)(yyA;0d)(yyB;0d)(yyC.0d)(yyD提示:利用一阶泰勒公式xxfxfxxf)()()(2)(!2)(xfxxfxf)()(yd即yyd又0,0)(xxf0dyD10)设)(,)(xgxf是恒大于0的可导函数,且,0)()()()(xgxfxgxf则当bxa时,有;)()()()()(xgafagxfA;)()()()()(xgbfbgxfB;)()()()()(agafxgxfC;)()()()()(bgbfxgxfD提示:0)()(xgxf)()()()()()(agafxgxfbgbfB11)若,)(33Cxxdxf则;)(;)(3CxBCxA提示:CxDCxC35355659)(;)(233)(xxfC)(xf令3xt323)(ttftdttf323)(Ct3559,则Cxf)(xtdtxftdxd022)()(2)()(2)()()()()(2222xfxDxfxCxfxBxfxA提示：令,22txu则左边=02)(21xduufxddA(P.502题17))(2xfx12)设13)设,sin)(2sinxxttdtexF则)(xF(A)为正常数;(B)为负常数;(C)恒为0;(D)不为常数;提示:被积函数以2为周期,故)(xF为常数,又)0(F20sintetdcos02cossintet202sincostdtet00A14)设)(xf是连续函数,)(xF是)(xf的原函数,则(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数;(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数;(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数;(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数.(考研1999)提示:利用剔除法.造反例如下:1sin)(,cos)(xxFxxfxxxFxxfsin)(,1cos)(221)(,)(xxFxxfA],[ba;)(;)(;)(;)(132213312321SSSDSSSCSSSBSSSA则有(P.484例1(4))15)设在,0)(,0)(,0)(xfxfxf上,)(1badxxfS令,))((2abbfS,)]()([23bfafabSoxy1S提示:根据已知条件画图,作直观分析B2S)(bf)(afab)(xfy3S16)设xxtdtxtdttxtsin0501)1()(,sin)(则当0x时,)()(xx是的(A)高阶无穷小;(B)低阶无穷小;(C)等价无穷小;(D)同阶但不等价的无穷小.提示:)()(lim0xxx)()(lim0xxx0limxxx55sin5xxxsin1)sin1(cos1e5D,)(Cxf;2ln)(;2ln)(;2ln)(;2ln)(22xxxxeDeCeBeA)(xfB(P.484例1(5))17)若xtdtfxf20,2ln)2()(且满足)(xf则提示:)(2xf将备选答案代入验证18)xdxeIx021cos2的大小关系是与xdxeIx222cos2;)(;)(;)(212121IICIIBIIA21)(IID与的大小无法比较.提示:令xt,则tdteIt)(cos02)(22xdxex02)(cos2当x0时,22)(xxeeB结构：题干+空白（真命题）解法：(P.488)（1）计算题：简捷，准确（2）概念、理论题：恰如其分2.填空题,.1,.1,13)(xxxxxf提示:)]([xff0x实例分析1)设则,49x10x13x1xx)]([xff1)(xf,1)(3xf1)(xf,)(xf2)已知,1)]([,sin)(2xxfxxf则)(x的定义域为提示:,1)(sin2xx)1arcsin()(2xx1112x22x]2,2[3)nnnnnnnnn2222211lim提示:利用夹逼准则nkknnk122)1(1nnknk)(2)1(2nnnnn)1(2)1(2nnnn214)239128141lim2nnn提示:5)设nnknk1)21(21lim提示:1e23912kk31nkk1)21(21nkkk1)1(11111kknk111n原式nnn111lim)1(ln11limnnne1limnnen13123131kk)13)(23(1kk0x23,31~1)1(2231xaxa(P.488例3(1))6)已知时,,1cos~1)1(312xxaa则提示:利用0x时,221~1cosxx,8)2(limxxaxax)31(lim)2(limxxxxaxaaxax2lnxaxaxe3lim(P.488例3(2))7)设a则提示:.3ae)(xf)1ln(1)(1lim0xxfx8)设,0)0(f有一阶连续导数,且提示:,1)0(f则)1ln(1)(1lim0xxfx)](1[ln0)1(ln1limxfxxe)1(ln)(0limxxfexxxfxe)(0lim)0(feee利用等价无穷小xxf2tan)(分子～,5121lnlim2tan)(0xxxfx20)(limxxfx9)设提示:则2ln10～xxf2)(12lnxe分母=～2lnx2lnlim52)(0xxxfx20)(lim2ln21xxfx10)设)(xf0,2xxba0,sinxxxb在x=0处间断,则常数a与b的关系是ba,)0(af提示:,)0(bfaf)0(11)设,2lim)(2txtexxxf则)(xf提示:0,)2(2222xxx0x0，)0(f)(xf0x,22xx0x,0注意不存在!12)设)(0xf存在,则000)()(lim0xxxfxxfxxx提示:000)()(lim0xxxfxxfxxx0lim0xxxx)()(00xfxx)]()([00xfxfx)(0xf)(00xfx,2)3(f提示：因为只要结果，可加强条件利用罗必塔法则。13)已知则hhfhfh2)3()3(lim0214)已知,2323xxfy则0xxdyd提示:,arctan)(2xxf2323xxf02323xxx0xxdyd22323arctanxx0)23(122xx434315)设则提示:,16cos)23()(22xxxxfn16cos)1()2()(2xxxxfnn)2()(nf22!n216cos)1(!)2(2)(xxxnfnn利用莱布尼兹求导公式)()1()1()()()(nnnnnvuvunvunvuvu16)对数螺线在点esincosyx2eyx(P.489例3(4)))2,(),(2e切线的直角坐标方程为处的提示:利用求切点和斜率.17)已知)()1(xffdt1)1(f)(1))(())((2xfxffxff2则)1(f提示:将已知等式两边对x求导,1)(xf注意:1)()(2tftf,)(xxf,)(Cxf10)(2tdtf)(xf1x(P.489例3(5))18)设且则10)(2)(tdtfxxf提示:令则.)(0Cxxf19)设,),0()(Cxf且对任意正数,,ba积分xdxfbaa)(与a无关,