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第一章习题设写出A\B及A\(A\B)的表达式解A\A\(A\设A、B是任意两个集合证明对偶律证明因为或或所以设映射证明证明因为使因为或或所以(2)因为使因为且且y所以设映射若存在一个映射使其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个有对于每一个有证明是双射且g是f的逆映射证明因为对于任意的有且即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射又因为对于任意的必有否则若因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射因为对每个有且满足按逆映射的定义是f的逆映射设映射证明(2)当f是单射时有证明(1)因为所以(2)由(1)知另一方面对于任意的存在使f因为且f是单射所以这就证明了f因此求下列函数的自然定义域解由得函数的定义域为解由得函数的定义域为解由且得函数的定义域解由得函数的定义域为解由得函数的定义解由得函数的定义域为解由得函数的定义域解由且得函数的定义域解由得函数的定义域解由得函数的定义域7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？解(1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同时(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同求并作出函数设的图形解试证下列函数在指定区间证明(1)对于任意的有因为当时所以函数在区间(2)对于任意的当时有所以函数在区间设下面所考虑的函数都是定义在对称区间上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明(1)设如果f(x)和g(x)都是偶函数则所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设如果f(x)和g(x)都是偶函数则所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数如果f(x)和g(x)都是奇函数则所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？解(1)因为所以f(x)是偶函数(2)由可见f(x)既非奇函数又非偶函数所以f(x)是偶函数因为(4)因为所以f(x)是奇函数(5)由可见f(x)既非奇函数又非偶函数因为所以f(x)是偶函数22下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期解是周期函数周期为解是周期函数周期为解是周期函数周期为解不是周期函数解是周期函数周期为求下列函数的反函数解由得所以的反函数为解由得所以的反函数为解由得所以的反函数为y解由得所以的反函数为解由得所以的反函数为xxy22解由得所以的反函数为设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界证明先证必要性设函数f(x)在X上有界则存在正数使即这就证明了f(x)在X上有下界和上界再证充分性设函数f(x)在X上有下界K1和上界即取则即这就证明了f(x)在X上有界在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值解解解解解设f(x)的定义域求下列各函数的定义域解由得所以函数f(x2)的定义域为解由得所以函数f(sinx)的定义域为(3解由得所以函数的定义域为解由且得当时当时无解因22此当时函数的定义域为当时函数无意义设求f[g(x)]和g[f(并作出这两个函数的图形解即即已知水渠的横断面为等腰梯形斜角图当过水断面ABCD的面积为定值S0时求湿周与水深h之间的函数关系式并指明其定义域图解又从得所以h自变量h的取值范围应由不等式组确定定义域为收敛音机每台售价为90元成本为60元厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的每多订购1台售价就降低1分但最低价为每台75元(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数(3)某一商行订购了1000台厂方可获利润多少？解(1)当时令得因此当时当时综合上述结果得到(3)元习题观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势写出它们的极限解当时解当时解当时(解当时解当时没有极限问求出使当时与设数列{xn}的一般项其极限之差的绝对值小于正数当时求出数解要使只要也就是取则有当时根据数列极限的定义证明分析要使|1只须即证明因为当时有所以分析要使只须即证明因为当时有所以只须分析要使证明因为当时有所以个即分析要使只须证明因为当时有所以n个证明并举例说明如果数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限证明因为所以当时有从而这就证明了数列{|xn|}有极限但数列{xn}未必有极限例如但不存在设数列{xn}有界又证明证明因为数列{xn}有界所以存在使有|xn又所以当时有从而当时有所以对于数列若证明证明因为所以当时有当时有取只要就有因此习题根据函数极限的定义证明分析因为所以要使只须证明因为当时有3所以分析因为所以要使只须证明因为当时有所以分析因为只须所以要使证明因为当时有所以分析因为31所以要使只须证明因为当时有22所以lim根据函数极限的定义证明分析因为只须即所以要使2x22|x|3证明因为当时有所以分析因为所以要使只须即证明因为当时有x所以当时问等于多少使当时？解由于当时故可设即要使只要取则当时就有当时问X等于多少使当|时2x解要使只要故证明函数当时极限为零证明因为所以要使只须因为对使当时有所以求当时的左﹑右极限并说明它们在时的极xx限是否存在证明因为所以极限limf(x)存在因为所以极限不存在证明若及时函数f(x)的极限都存在且都等于则证明因为所以使当时有使当时有取则当时有即根据极限的定义证明函数f(x)当时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设则使当时有因此当和时都有这说明f(x)当x时左右极限都存在并且都等于再证明充分性设则使当时有使当时有取则当时有及从而有即试给出时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当时的极限存在则存在及使当时证明设则对于当时有所以这就是说存在及使当时其中习题两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定例如当时都是无穷小但lim穷小根据定义证明当时为无穷小当时为无穷小因为当时有证明(1)当时2所以当时为无穷小(2)当时因为当时有x不是无所以当时为无穷小x根据定义证明函数为当时的无穷大问x应满足什么条件x能使？证明分析要使只须即xx|x||x|使当时有所以当时函数是无穷大x当时取则求下列极限并说明理由证明因为2解(1)因为而当时1是无穷小所以(2)因为而当时x为无穷小所以函数在内是否有界？这个函数是否为当时的无穷大？为什么？解函数在内无界这是因为在内总能找到这样的使得例如当k充分大时就有当时函数不是无穷大这是因为找不到这样一个时刻使对一切大于N的都有例如222对任何大的当k充分大时总有但2证明函数y在区间上无界但这函数不是当时的无xx穷大证明函数在区间上无界这是因为xx在中总可以找到点使例如当时有2当k充分大时当时函数不是无穷大这是因为xx对所有的总可以找到这样的点使但例如可取当k充分大时但习题计算下列极限解解解解解解解22xx分子次数低于分母次数极限为零解或2(9)limx解解解解分子与分母的次数相同极限为解最高次项系数之比或解计算下列极限解因为所以2x解因为分子次数高于分母次数解因为分子次数高于分母次数计算下列极限解当时是无穷小而sin1是有界变量xx解当时是无穷小而arctanx是有界变量证明本节定理3中的习题计算下列极限解解(解解解或(6)lim2nsinx(x为不等于零的常数sinx解lim2nsinx计算下列极限1解解解为正整数解根据函数极限的定义证明极限存在的准则证明仅对的情形加以证明设为任一给定的正数由于故由定义知对存在使得当时恒有即由于故由定义知对存在使得当时恒有即取则当时与同时成立又因为所以即因此证明仅对的情形加以证明因为所以对任一给定的存在使得当时恒有及即及又因为所以即因此利用极限存在准则证明证明因为且而由极限存在准则证明因为22n111n22nn而所以(3)数列的极限存在证明先证明数列{xn}有界当时假定时则当时所以即数列{xn}有界再证明数列单调增因为而所以即数列{xn}单调增因为数列{xn}单调增加有上界所以此数列是有极限的证明当时则有从而有因为根据夹逼准则有证明因为所以又因为根据夹逼准则有习题当时与相比哪一个是高阶无穷小？232解因为所以当时是高阶无穷小即当时无穷小和是否同阶？是否等价？2解(1)因为所以当时和是同阶的无穷小但不是等价无穷小因为所以当时和是同阶的无穷小而且是等价无穷小证明当时有y证明(1)因为提示令则当时所以当时2因为2x所以当时利用等价无穷小的性质求下列极限为正整数解(4)因为222