第6章 三维变换和三维观察

第六章三维变换和三维观察本章内容3D变换3D观察3D平移3D投影变换3D变比3D旋转3D反射与错切3D复合变换6.13DTranslation平移向量:tx,ty,tz矩阵表达x’100txxy’010tyyz’001tzz100011举例6.23DScale针对原点变比变比因子:sx,sy,sz矩阵表达x’sx000xy’0sy00yz’00sz0z100011举例针对固定点变比参数:sx,sy,sz,(xf,yf,zf)变换矩阵M=T(xf,yf,zf)S(sx,sy,sz)T(-xf,-yf,-zf)OriginalscaleallaxesscaleYaxisoffsetfromorigindistancefromoriginalsoscales6.33DRotations旋转参数指定旋转轴旋转角度以及方向基本旋转变换类型Z-axisRotationX-axisRotationY-axisRotationz-axisRotation代数方程x’=xcosθ-ysinθy’=xsinθ+ycosθz’=zz-axisRotation矩阵表达P’=Rz(θ)*Px’cosθ-sinθ00xy’sinθcosθ00yz’0010z100011x-axisRotationx-y-z-x代数方程y’=ycosθ-zsinθz’=ysinθ+zcosθx’=xx-axisRotation矩阵表达P’=Rx(θ)*Px’1000xy’0cosθ-sinθ0yz’0sinθcosθ0z100011y-axisRotationx-y-z-x代数方程z‘=zcosθ-xsinθx‘=zsinθ+xcosθy‘=yy-axisRotation矩阵表达P’=Ry(θ)*Px‘cosθ0sinθ0xy‘0100yz‘-sinθ0cosθ0z100011rotationof45oabouttheZaxisoffsetfromoriginrotation举例General3DRotations任意轴平行于坐标轴之一平移使任意轴与平行坐标轴重合完成指定旋转反向平移使回到原位置Example任意轴平行于X轴的变换矩阵M=T-1RX(θ)TxyzL任意轴不平行于任何坐标轴平移使任意轴过原点旋转使任意轴与坐标轴之一重合完成指定旋转反向旋转反向平移General3DRotationsyzxLxyzp1p2xyzuxyzuu’u’’xyzu’’’xyzu’’xyzuxyzuTRx(a)zxyu’’’M=T-1Rx(-a)Ry(-b)Rz(θ)Ry(b)Rx(a)T旋转轴由两个坐标点确定P1(x1,y1,z1)P2(x2,y2,z2)旋转轴矢量V=P2－P1=(Vx,Vy,Vz)沿旋转轴的单位向量u=V/|V|=(a,b,c)a=(x2-x1)/|V|、b=(y2-y1)/|V|c=(z2-z1)/|V||V|=sqrt(Vx2+Vy2+Vz2)P1P2xzyuGeneral3DRotations第一步：平移物体，使旋转轴通过原点平移矢量T1=T(tx,ty,tz)=T(-x1,-y1,-z1)=xzyP1'P2'100-x1010-y1001-z10001第二步:旋转物体使旋转轴与z轴重合旋转物体使旋转轴与z轴重合分两步将向量U绕x轴旋转到xz平面上:Rx(α)将向量U绕y轴旋转到z轴上:Ry(β)xzyu(a,b,c)αxzyβu''(a,0,d)u''(a,0,d)uz(0,0,1)第二步的第一小步将向量U绕x轴旋转到xz平面上:Rx(α)u'为u在yz平面上的投影u'(0,b,c)αxzyu(a,b,c)αu''(a,0,d)uz(0,0,1)将向量U绕x轴旋转到xz平面上:Rx(α)cos(α)，sin(α)求解利用向量的点乘运算确定余弦项cos(α)=u'.uz/(|u'|.|uz|)=c/d|uz|=1及|u'|=d=sqrt(b2+c2)利用向量的叉乘运算确定正弦项u'×uz=ux|u'|.|uz|sin(α)=b.uxsin(α)=b/d将向量U绕x轴旋转到xz平面上：Rx(α)Rx(α)=10000c/d-b/d00b/dc/d00001第二步的第二小步将向量U绕y轴旋转到z轴上:Ry(β)xzyβu''(a,0,d)uz(0,0,1)将向量U绕y轴旋转到z轴上：Ry(β)cos(β)，sin(β)求解利用向量的点乘运算确定余弦项cos(β)=u''.uz/(|u''|.|uz|)=d|uz|=1及|u''|=sqrt(d2+a2)=|u|=1利用向量的叉乘运算确定正弦项u''×uz=uy|u''||uz|sin(β)=-a.uysin(β)=-a将向量U绕y轴旋转到z轴上：Ry(β)Ry(β)=d0-a00100a0d00001第三步：完成指定旋转Rz(θ)Rz(θ)=cosθ-sinθ00sinθcosθ0000100001第四步：反向旋转使旋转轴回到原始方向Ry(-β)=Ry-1(β)Rx(-α)=Rx-1(α)第五步：反向平移使旋转轴回到原始位置T2=100x1010y1001z10001=T1-1xyzp1p2xyzuxyzuu’u’’xyzu’’’xyzu’’xyzuxyzuTRx(a)zxyu’’’M=T-1Rx(-a)Ry(-b)Rz(θ)Ry(b)Rx(a)T6.43DReflection&Shearing变换矩阵XOY平面反射XOZ平面反射YOZ平面反射xyzxyz1000010000-100001RFz=举例变换矩阵Z-axis错切X-axis错切Y-axis错切10a001b000100001SHz=举例original6.5三维复合变换三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换结果是每次变换矩阵相乘。)1()('321nTTTTPTPPn1.相对任一参考点的三维变换相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步：(1)将参考点F移至坐标原点(2)针对原点进行二维几何变换(3)进行反平移例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换(x',y',z')zyxzyx(x',y',z')zyx(x',y',z')zy(x',y',z')xFF图5-8相对参考点F的比例变换(a)原图(b)移至坐标原点(c)基本比例变换(d)移回F点原来位置2.绕任意轴的三维旋转变换问题：如何求出为TRAB。RABTzyxzyx]1[]1'''[XYZABP'Pθ图5-9P点绕AB轴旋转分析：111tARxRyRzRyRxtARABTTTTTTTTx'z'y'B(a,b,c)B'vcEbO'x'z'y'B(a,b,c)vO'vaaaB'ab图5-10O'A经两次旋转与Z'轴重合(a)(b)Dc公式推导：(1)将坐标原点平移到A点(2)将O'BB'绕x'轴逆时针旋转α角，则O'B旋转到x'o'z'平面上(3)将O'B绕y'轴顺时针旋转β角，则O'B旋转到z'轴上。(4)经以上三步变换后，AB轴与z'轴重合，此时绕AB轴的旋转转换为绕z轴的旋转。(5)最后，求TtA，TRx，TRy的逆变换，回到AB原来的位置。x'z'y'B(a,b,c)B'vcEbO'x'z'y'B(a,b,c)vO'vaaaB'ab图5-10O'A经两次旋转与Z'轴重合(a)(b)Dc类似地，针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成：(1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换。(2)使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换，且旋转变换可能不止一次。(3)针对该坐标轴完成变换。(4)用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。(5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。本章内容3D变换3D观察3D平移3D投影变换3D变比3D旋转3D反射与错切3D复合变换三维图形的基本问题1.在二维屏幕上如何显示三维物体？显示器屏幕、绘图纸等是二维的显示对象是三维的解决方法----投影三维显示设备正在研制中2.如何表示三维物体？二维形体的表示----直线段,折线,曲线段,多边形区域三维形体的表示----空间直线段、折线、曲线段、多边形、曲面片6.63D投影变换Def.将3D图形的坐标定义从3D变换为2D。把三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换。投影分类平行投影：坐标位置沿平行线变换到观察平面上。透视投影：物体位置沿收敛于某点的直线变换到观察平面上，该点称为投影参考点。投影分类投影中心与投影平面之间的距离为无限投影中心与投影平面之间的距离为有限根据投影方向与投影平面的夹角根据投影平面与坐标轴的夹角特点：平行投影保持物体的相关比例不变，图形真实感不强，用于工程、建筑绘图；透视投影生成真实感图形，但不保持相关比例，近大远小或近小远大的投影效果。几个概念1.投影中心2.投影平面3.投影方向4.坐标轴透视投影和平行投影的区分:1,2平行投影中的正平行投影和斜平行投影:2,3正平行投影中的三视图和正轴侧投影2,4平行投影投影中心与投影平面之间的距离为无限因此，只需给出投影方向即可.是透视投影的极限状态6.6.1平行投影平行投影可分成两类：正投影和斜投影。投影方向投影平面投影平面法向投影方向投影平面(a)正投影(b)斜投影平行投影投影平面法向a6.6.1.1正投影正投影又可分为：三视图和正轴测。三视图：三个投影面和坐标轴相互垂直。正轴侧：投影面和坐标轴呈一定的关系。投影方向投影平面(a)三视图(b)正轴测正投影zO投影平面投影方向z三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种，投影面分别与Y轴、X轴和Z轴垂直。zyOZYXY主视图俯视图侧视图三维形体及其三视图三视图Example三视图1000010000000001Tv1000010000100000Tw主视图变换矩阵XOZ面（V面）侧视图变换矩阵YOZ面（W面）三视图投影变换矩阵1000000000100001Th俯视图变换矩阵XOY面（H面）正轴测投影当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。正轴测投影分类：正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变形系数。正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相同的变形系数。zOzOzOzOzOzO(a)等轴测(b)正二测(c)正三测正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图投影平面投影平面投影平面正轴测投影的形成过程如下：将空间一立体绕y轴旋转θy角然后再绕x轴旋转θx最后向z=0平面做正投影由于这种投影的投影平面不与立体的轴线垂直，同时可见到物体的多个面，因而可产生立体效果。经过正轴测投影变换后，物体线间的平行性不变，但角度有变化。正轴测投影变换矩阵的一般形式：100000000010000110000cossin00sincos0000110000cos0sin00100sin0cosxxxxyyyyzxyTRRT100000cossinsin00cos000sinsincosyxyxyxyT下面主要讨论正二测和正等测的投影变换矩阵，即确定变换矩阵中的θx角和θy角。如何度量沿三个轴线方向的变形系数呢？10cossinsin110010cos0101010sinsincos1001yxyxyxy正轴侧投影正轴侧投影正轴侧投影正二侧投影需