第十二章全等三角形

曲周县第二中学李书波教材内容与分析本章的主要内容是全等三角形．主要学习全等三角形的性质以及探索判定三角形全等的方法，并学会怎样应用全等三角形进行证明，本章划分为三个小节，第一节学习三角形全等的概念、性质；第二节学习三角形全等的判定方法和直角三角形全等的特殊判定方法；第三节利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明．教材力求创设现实、有趣的问题情境，使学生经历从现实活动中抽象出几何模型和运用所学内容解决实际问题的过程．在内容呈现上，把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件上，通过“边边边”条件探索什么是三角形的判定，如何判定，怎样进行推理论证，怎样正确地表达证明过程．学生开始学习三角形判定定理时的困难在于定理的证明，而这些推理证明并不要求学生掌握．为了突出判定方法这条主渠道，教材都作为基本事实提出来，在画图、实验中让学生知道它们的正确性就可以了．在“角的平分线的性质”一节中的两个互逆定理，只要求学生了解其条件与结论之间的关系，不必介绍互逆命题、互逆定理等内容，这将在“勾股定理”中介绍．1.理解全等形，全等三角形的概念，会找全等三角形的对应边、对应角和对应顶点.2.掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算.3.通过图形变换，培养学生动态观点，研究几何图形.重点：全等三角形的性质.难点：找全等三角形的对应边、对应角、对应顶点.把一块三角形模板按在纸上，沿边每人画出一个图形，剪下这个图形.想一想：这两个图形之间有什么关系？比一比：哪一组最快剪出这两个图形.（两人一组）1.观察书本31页12.1-1图形，它们的形状与大小有什么特点？2.你能再举出一些生活中的全等图形吗？3.观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流。（1）（2）如果两个图形全等，它们的形状一定相同，大小一定相等！（3）4.刚才每组同学剪下的两个三角形是全等形吗？ABC能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.DFE一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。能够互相重合的边叫做对应边观察图形思考：如上图，△ABC与△DEF全等，当△ABC与△DEF重合时①与顶点A重合的点是哪个点？②与∠A重合的角是哪个角？③与边AB重合的边是哪条边？能够互相重合的顶点叫做对应顶点能够互相重合的角叫做对应角你能找出其他的对应顶点、对应边和对应角吗？点D∠D边DECABFDE重合部分名称是否相等，说明理由顶点B与顶点顶点C与顶点边AC与边边BC与边∠C与∠∠B与∠EFDFEFFE对应角对应顶点对应顶点对应边对应边对应角相等.完全重合相等.完全重合相等.完全重合相等.完全重合根据上图完成下面的填空：CABFDEABCDEF思考如上图，△ABC与△DEF全等，对应边有什么关系？对应角呢？1.全等三角形对应边相等2.全等三角形对应角相等如上图：△ABC和△DEF全等，记作“△ABC≌△DEF”.“全等”用符号“”表示，读作“全等于”.ABCDEF平行、垂直都有符号表示，那么怎样表示两个三角形全等？记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.≌小试牛刀如图,△ABD≌△EBCDABCE2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.∴BE=3cm,BD=5cm解：∵△ABD≌△EBC∴AB=EB，BC=BD∵AB=3cm,BC=5cm1、请找出对应边和对应角并说出大小关系(全等三角形的对应边相等)ABEB、BCBD、ADEC，∠A∠BEC、∠D∠C、∠ABD∠EBC=与与与与与与=====3：如果AB=3cm,DE=2cm,求BC的长.ABCDE∴BE=3cm解：∵△ABD≌△EBC∴AB=BE，BC=BD∵AB=3cm∴BC=BD=DE+BE=2+3=5cm小试牛刀通过本节课的学习：你学会了什么？能把你的学习体会跟同学交流一下吗？全等三角形1、本节课主要研究的内容：全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.表示方法：△ABC≌△DEF(对应点要写在对应的位置上).性质：对应边相等，对应角相等.会用全等三角形的性质解决简单的问题.2、注意：两个全等三角形中，对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角.小结1、猜一猜：（如图）下面两个三角形是否全等？2、想一想：如何判断两个三角形全等呢？思维拓展657657BCAA'B'C'课堂作业1、看书P.31－32.2、做P33.习题12.1的1、2、3、4题.3、预习：三角形全等的判定.§12.2三角形全等的判(一)BCAEF1.掌握“边边边”公理，并熟练运用它证明两个三角形全等.2.能运用“边边边”公理解决简单的实际问题.3.经历探索三角形全等过程.重点：应用“边边边”公理证明三角形全等.难点：寻求三角形全等的条件.ABCDEF1、什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫全等三角形。2、已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠FABCDEF①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F1.满足这六个条件可以保证△ABC≌△DEF吗？2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗?思考：（1）.只给一条边时；3㎝3㎝1.只给一个条件45◦（2）.只给一个角时；45◦结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.①两边；③两角。②一边一角；2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？①如果三角形的两边分别为4cm，6cm时6cm6cm4cm4cm结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:4cm4cm30◦30◦结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.45◦30◦45◦30◦③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等两个条件①两角；②两边；③一边一角。结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。一个条件①一角；②一边；①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？探索三角形全等的条件已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等⑴三个角已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm。它们一定全等吗？3cm4cm6cm6cm4cm3cm⑵三条边先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’,使A’B’=AB,B’C’=BC,A’C’=AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？画法:1.画线段B’C’=BC;2.分别以B’，C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’;3.连接线段A’B’，A’C’.上述结论反映了什么规律？三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS”边边边公理：注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。如何用符号语言来表达呢?在△ABC与△DEF中ABCDEFAB=DEAC=DFBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。ACBD证明：∵D是BC的中点∴BD=CD在△ABD与△ACD中AB=AC（已知）BD=CD（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SSS）例1如图,△ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD求证：∠B=∠C，∴∠B=∠C，①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论证明的书写步骤：练习:已知：如图，AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADCABCDACAC()≌AB=AD()BC=DC()∴△ABC△ADC（SSS）证明：在△ABC和△ADC中=已知已知公共边BCCB△DCBBF=CDABCD1、填空题：解：△ABC≌△DCB理由如下：AB=CDAC=BD=△ABC≌（）SSS（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。（2）如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD，还需要条件AEBDFC====××ⅤⅤ或BD=FC图1已知：如图1，AC=FE，AD=FB,BC=DE求证：△ABC≌△FDE证明：∵AD=FB∴AB=FD（等式性质）在△ABC和△FDE中AC=FE（已知）BC=DE（已知）AB=FD（已证）∴△ABC≌△FDE（SSS）求证：∠C=∠E，AcEDBF==??。。（2）∵△ABC≌△FDE（已证）∴∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）求证：AC∥EF；DE∥BC已知:如图，AB=AC,DB=DC,请说明∠B=∠C成立的理由ABCD在△ABD和△ACD中，AB=AC(已知）DB=DC（已知）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD(SSS)解：连接AD∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等）已知:如图,四边形ABCD中，AD=CB,AB=CD求证：∠A＝∠C。ACDB分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。构造公共边是常添的辅助线1234已知：AC=AD,BC=BD,求证：AB是∠DAC的平分线.AC=AD()BC=BD()AB=AB()∴△ABC≌△ABD()∴∠1=∠2∴AB是∠DAC的平分线ABCD12（全等三角形的对应角相等）已知已知公共边SSS（角平分线定义）证明:在△ABC和△ABD中1.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等简写成“边边边”（SSS）2.边边边公理发现过程中用到的数学方法（包括画图、猜想、分析、归纳等.)3.边边边公理在应用中用到的数学方法:证明线段(或角)相等转化证明线段(或角)所在的两个三角形全等.两个三角形全等的注意点：1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.3.有时需添辅助线(如:造公共边)这些内容你掌握了吗？布置作业：习题12.2第1、9§12.2三角形全等的判定(二)1.掌握三角形“SAS”判定方法.2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.3.经历探索三角形全等条件的过程.重点：应用“边角边”证明三角形全等.难点：寻求三角形全等的条件.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：三角形全等判定方法1知识回顾:三步走：①准备条件②摆齐条件③得结论注重书写格式除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.(2)三条边(1)三个角(3)两边一角(4)两角一边当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:SSS不能!?继续探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图二在图一中，∠A是AB和AC的夹角，符合图一的条件，它可称为“两边夹角”。符合图二的条件，通常说成“两边和其中一边的对角”已知△ABC，画一个△A′B′C′使AB=A′B′,AC=A′C′,∠A=∠A′。结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等思考：①△A′B′C′与△ABC全等吗？如何验正？画法:1.画∠DA′E=∠A；2.在射线AD上截取A′B′=AB,在射线A′E上截取A′C′=AC;3.连接B′C′.′ACBA′EDCB′′思考：②这两个三角形全等是满足哪三个条件？探索边角边三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌