效用函数

效用函数刘孔柏目录•第一节效用及效用函数概述•第二节效用函数决策模式•第三节效用函数类型•第四节决策方案的敏感性分析假如你打算买台笔记本电脑，你会选择哪个牌子的？1.1效用及效用函数概述•在经济学中效用（utility）：商品或劳务满足人的欲望或需要的能力。•效用完全是消费者的一种主观心理感受。–满足程度越高，效用越大；–满足程度越低，效用越小。•在决策理论中，效用是概念，反映决策方案的结果值满足和实现决策者愿望和倾向的程度。•效用也是量值，可以用具体的方法测定，并作为决策分析的依据•决策问题的每种结果对于决策人都有一定的效用，效用是在有风险的情况下决策人对结果的爱好（偏好）的量化，各种结果的效用的集合就是效用函数。•效用函数主要用于解决随机决策问题，在进行决策分析时，主要步骤分别是：得到确定当量查效用函数表或效用曲线决策效用矩阵效用测定效用函数值画出决策树•（1）事态体的概念•具有两种或两种以上的有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体。设事态体的n个可能结果值为o1，o2，o3，…，on，相应出现的概率为p1，p2，…，pn，并且，则事态体记作•T=（p1，o1；p2，o2…，pn,on）•当n=2时，称T为简单事态体，即T=(p1，o1；1-p，o2)1.2基本概念与符号11njjp例：某公司研究研制一种新产品，投入市场有一定风险。根据市场预测，该产品在市场看好的情况下，可以获利20万，在市场前景较差时，将亏损5万，市场看好和市场较差的概率分别是0.6和0.4，可表示为T=(0.6,20;0.4,-5)•（3）设两个简单事态体T1,T2具有相同的结果值o1o2，即T1=（p1,o1；1-p1,o2）T2=(p2,o1；1-p2,o2)，并假定o1o2•1，若p1=p2，则称事态体T1无差异与T2，记作T1∼T2•2，若p1p2，则称事态体T1优于T2，记作T1T2反之，称事态体T1劣于T2，记作T1≺T2。1.2基本概念与符号•(2)事态体的比较（严格序“”）•设o1，o2是事态体T的任意两个结果值，根据决策目标和决策者的偏好，o1和o2有如下关系：•1、o1o22、o1≺o23、o1∼o24、o1≼o25、o1≽o21.2基本概念与符号•（4）设有两个简单事态体T1,T2，仅具有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即T1=（p1,o1；1-p1,o2）T2=(p2,o1；1-p2,o2)，其中o2o1o0•若p1=p2，则称事态体T1优于T2，记作T1T2•若T1∼T2，则一定有p1p2•另外还具有连通性、传递性、复合性、相对有序性。1.2基本概念与符号1.2基本概念与符号2效用函数决策模式•一、效用测定•标准效用测定方法（简称V—M方法）——冯·诺依曼与莫根斯坦•设有决策系统,其结果值集合为O={o1，o2，…，on}，•记o*≽max{o1，o2，…，on}o。≼min{o1，o2，…，on}•用标准效用测定法测定结果值oj(j=1,2,…,n)的效用值u(oj)，其步骤如下：•①设u(o*)=1,u(o。)=0；•②建立简单事态体（x，o*，1-x，o。），其中x称为可调概率•③通过反复提问，不断改变可调概率值x，让决策者权衡比较，当x=pj时，得到无差异关系oj∼（pj，o*，1-pj，o。）•④测得结果值oj的效用u(oj)=pju(o*)+（1-pj）u(o。)=pj•例：某公司试制某种新产品，根据市场预测，畅销时可获利10万元，滞销时将亏损1万元，该公司另有一个无风险方案，即如果生产某种老产品，可以获利5万元。不妨设o*=10，o。=-1，这个风险方案可表示为事态体（p，o*，1-p，o。）设o=5，于是有o*oo。需要测定效用值u(o)，经过反复提问，让公司决策者反复对比和权衡，当p=0.8时，决策者偏好风险方案，当p=0.5时，决策者偏好无风险方案，当p=0.6时决策者对两种方案无所偏好，即确定无差异关系式o∼（0.6，o*，0.4，o。）因此效用值u(o)=0.6•二、效用函数值•（1）效用函数表的制作•对于决策问题的结果值集合，先用标准效用测定法找出一个•基准效用值，这就是效用值等于0.5的结果值，称之为确定当•量oε。•即：构造简单事态体(0.5,o*;0.5,o。)用标准效用测定方法，得到该事态体的确定当量oε，使得oε∼(0.5,o*;0.5,o。)•􀂄其余效用值无须测定，而是按比例用线性内插的方法，用同•一个标准计算得到。•可以得到效用曲线u(o)上的三个已知点（o。,0）(oε,0.5)（o*,1）•为了使效用曲线规范化，下面对结果值进行归一化处理。归一化公式：iiijxxxxoxminmaxmin)(归一化值则得到x(o0)=0,x(o*)=1,00)(ooooox归一化变换后，效用曲线上的三个已知点对应于变换后的三个已知点(0,0),(ε,0.5),(1,1)，在坐标平面上用横轴表示归一化值x，用纵轴表示效用函数值u(x)，就可以粗略地画出相应的效用函数曲线。•为了较精确地绘出效用函数曲线，仅有上述三个点还远远不够，还需要补充足够的点，为此将纵轴效用函数值区间[0,1]，划分为4等份，相应地得到4个效用值0.25,0.5,0.75,1相应的横坐标值依此记为x0.25,x0.5,x0.75,x*,按照效用函数的构造假设，根据统一标准用线性内插方法计算其他效用函数值，即按下列比例关系式计算x0.25和x0.75005.005.0025.0xxxxxxxx005.05.05.075.0xxxxxxxx于是可以得到:205.025.0)(xxxxo25.05.075.02)(xxxx•在实际应用中，为了使用方便，将对应于不同权衡指标值的效用函数值编制成表格，便于使用查找，这种表格称之为效用函数表。•实际构造效用函数时，取n=6定出效用曲线上的26（64）个点，效用函数的精度已经足够。书后附表6给出了n=6对于不同的权衡指标值ε(ε0.5)的效用函数值。•查表方法•将条件结果值oj归一化处理•利用标准效用测定法，确定决策者的确定当量，归一化得•到权衡指标值ε，并在效用函数表中找到相应的(ε0.5)列•若能够直接查到xj值，则该x值所在同一行位于u(xj)列的数值，•即为所需查找的效用函数值u(xj)；否则找出同一列中相邻近值两个值x1，x2，用线性内插法计算,如下：􀂄效用函数是单调增加函数，有u(x1)u(xj)u(x2)122122122122)()()()(_()()()(xxxxxuxuxuxuxxxxxuxuxuxujjjj•例：某企业欲投产一种新产品，有三种方案可供选择。假设市场划分为三种状态，即市场畅销、一般、滞销，三种方案在不同的市场状态下所获利润额，根据预测分析可以表示决策矩阵（单位：万元）5.20.60.140.55.70.200.22.65.9)(33ijoO根据标准效用法测定，该企业的决策者认为，某风险方案盈利20万元和亏损5万元的机会各占一半，等价于稳获利4.5万元的无风险方案。求该企业决策者效用矩阵。•确定当量oε=4.5，即oε~(0.5,o*;0.5,o。)•o*=20o。=-5。于是权衡指标值38.0)5(20)5(5.400oooo将结果值归一化处理，即：00ooooxijij得到归一化决策矩阵：100.0440.0760.0000.0500.0000.1280.0448.0580.0)(ijxX•查效用函数表，将归一化矩阵的xij转化为相应的效用值u(xij)，不能直接查到的取其邻近值，得到相应效用值，用线性内插法得出结果：2070.06010.08750.00000.06715.0000.14306.06094.07338.0)(ijxuU•（2）幂函数型效用曲线•幂函数y=ta(0a1)641i64122a7128.0)(x6415078.0)(641u(x)640.4,)(1,2,)(x)(12)(x-)u(21a)10(c)(x-)(,),0)((b1)(iiiiaaaauxZxuxBuAZbBbcAxuZxubbcxucxbcbxabbcxuxTbxuYcTcYcYycTt乘法，分别计算得：个点的坐标，由最小二用曲线上的查效用函数表，得到效设得到：令整理得得令则且令•求出幂函数型效用函数的拟合表达式，0796.03279.13749.0-)u(4.00796.0)2Ab(c3279.11b,1,222xxBbBbcA式为：的效用函数的拟合表达得到，解得由4249.0)(-5671.0)(-)(u(x)-)(-Z6412641iixuBZAxuxuxuZBBAiii的最小二乘估计值为，•（3）对数函数型效用曲线•y=lnt(0t+∞)bXauxXxbaxuccbcbcbcbuucxbaxucbacxbcbxuxTbbxuYcTcYcYycTt得线性函数：令得方程组有根据效用函数的性质，上式即为：再令则有令)21ln()21ln()(215.0)ln(ln1)1ln(ln:5.0)(,1)1()ln()(,ln)ln(ln)(),0()()ln(lnln222)8.0ln(2323.13073.0)(3073.0;2323.1)()(3218.464)()(5070.364)(6415078.0)(641;1627.0)8.0ln(6416416412641641641264164122641641641xxuXbuaXXXXuxubXuXxuXXuxuXXXXxuuxXXiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii计算得由最小二乘估计，分别•三、进行决策树分析•根据各种状态与相应的效用值画出决策树图，计算各方案的期望效用值，然后进行修枝选方案。p21-p2效用值1效用值2效用值3效用值4p11-p1|21期望效用值期望效用值•某公司准备引进某新设备进行生产，这种新设备具有一定的先进性，但该公司尚未试用过，预测应用时成功的概率为0.8，失败的概率为0.2。现有三种方案可供选择：方案I，应用老设备，可稳获4万元收益；方案II，先在某一车间试用新设备，如果成功，可获7万元收益，如果失败则将亏损2万元；方案III，全面推广使用新设备，如果成功，可获12万元收益，如果失败则亏损10万元，试问该公司应采取哪种方案？例题•解：（1）如果采用货币期望值标准，可画出决策树如下图：•方案I的损益值为4（万元）•方案II的损益值为：7×0.8+（-2）×0.2=5.2（万元）•方案III的损益值为12×0.8+（-10）×0.2=7.6（万元）成功（0.8）失败（0.2）成功（0.8）失败（0.2）4万元7万元-2万元12万元-10万元|2314万元5.2万元7.6万元方案II以损益值为标准的决策树（2）求决策者的效用曲线。•规定最大收益（12万元）时，效用值为1，亏损最大（-10万元）时，效用值为0，用标准测定法向决策者提出一系列问题，找出对应于若干损益值的效用值，即可绘制出该决策者对此决策的效用曲线，如下图所示。-10-8-6-4-2024681012效用值货币值1.0•由此可见，以效用值作为决策标准，应选方案I。|1成功（0.8）失败（0.2）成功（0.8）失败（0.2）0.940.980.71.000.940.9240.8方案II