利用函数性质判定方程解的存在

0)x(f)x(fy江西省莲花中学吴兰兰一、知识目标:理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．二、能力目标：培养学生的观察能力及抽象概括能力．三、情感目标：让学生在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．四、教学重点、难点重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．五、教法与学法1、教法：探究交流，讲练结合。2、学法指导：学生在老师的启发引导下，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。六、使用媒体、手段利用投影仪、计算机多媒体教学，更直观、形象的展示图形七、教学设计〖引例〗解方程：2ln(2)30xx（2）2230xx2230xx（3）（6）（1）210x（一）设问激疑，创设情景12x123,1xx无根（4）2-x=4；（5）2-x=x；2x方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数y=ax2+bx+c(a0)的图象函数的图象与x轴的交点一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-112Oxy423-112Oxy423-112Oxy两个交点(-1,0)，(3,0)一个交点(1,0)没有交点问题1:从该表你可以得出什么结论？问题2:这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？（二）启发引导，形成概念方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数y=ax2+bx+c(a0)的图象函数的图象与x轴的交点结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-112Oy423-112xOxy423-112Oxy两个交点(-1,0)，(3,0)一个交点(1,0)没有交点判别式ΔΔ0Δ=0Δ0方程ax2+bx+c=0(a0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根x1x2x1(x1,0)，(x2,0)(x1,0)问题3:其他函数与方程之间也有同样结论吗？请举例!（二）启发引导，形成概念一般地，我们把函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点．〖即兴练习〗函数f(x)=x(x2－16)的零点为()A.(0,0),(4,0)B.0,4C.(–4,0),(0,0),(4,0)D.–4,0,4D注意：零点是自变量的值，而不是一个点．－1，41，－5函数零点既是对应方程f(x)=0的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标！〖即兴练习〗求下列函数的零点：(1)f(x)=-x2+3x+4(2)f(x)=lg(x2+4x-4)函数零点的定义：（二）启发引导，形成概念（三）讨论探究，揭示定理探究:在什么情况下，函数f(x)在区间(a,b)一定存在零点呢？1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？2.将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？3.A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？用f（A）·f（B）0来表示观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:[－2,1]f(－2)0f(1)0f(－2)·f(1)0（－2,1）x＝－1是x2－2x－3＝0的一个根[2,4]f(2)0f(4)0f(2)·f(4)0（2,4）x＝3是x2－2x－3＝0的另一个根.....xy0－132112－1－2－3－4－24（三）讨论探究，揭示定理问题4:函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？〖即兴练习〗下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f(x)=log2x，x∈[0.5，2]；（2）．函数零点存在性定理：xyOxyObaabcc如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．111()1,[,]22fxxx例1判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）abOxyabOxyabOxy画图象举反例：x1234567f(x)239–711–5–12–26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）个A.5个B.4个C.3个D.2个CB1、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：（四）知识应用，尝试练习2、函数f(x)=–x–3x+5的零点所在的大致区间为（）A.(–2，0)B.(1，2)C.(0，1)D.(0，0.5)3由表可知f(1)0，f(0)0，从而f(0)·f(1)0，∴函数f(x)在区间(0,1)内有零点．由于函数f(x)在定义域R内是减函数，所以它仅有一个零点．列出x、f(x)的对应值表：例2求函数f(x)=的零点的个数.解问题5:如何说明零点的唯一性？x012345678f(x)-7/4...1-0.5-23/8-63/16-159/32…法1：（五）观察感知，例题学习2xx108642-2-4512346xyOf(x)=2xx解法2：.y=2x6Ox1234yy=x将函数f(x)=的零点的个数转化为函数y=与y=x的图象交点的个数．2xx2x由表可知f(2)0，f(3)0，从而f(2)·f(3)0，∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：练习求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.解108642-2-4512346xyOx123456789f(x)-4-1.31.13.45.67.810.012.114.2法1：f(x)=lnx+2x－6解法2：将函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数转化为函数y=lnx与y=－2x+6的图象交点的个数．y=－2x+6y=lnx6Ox1234y.一个关系：函数零点与方程根的关系:函数方程零点根数值存在性个数两种思想：函数方程思想；数形结合思想．三种题型：求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间．（六）反思小结，培养能力1．利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x－2)＝－3；（2）ex－1＋4＝4x．2．写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x3．思考题：方程2-x=x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．（七）课后作业，自主学习